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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题
展开向量的减法运算 向量的加法运算
【考点梳理】
考点一 向量加法的定义及其运算法则
1.向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
考点二 向量加法的运算律
技巧:向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
考点三:相反向量
1.定义:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量.
(2)对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0.
(3)若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
考点四:向量的减法
1.定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b),因此减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
2.几何意义:在平面内任取一点O,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,则向量a-b=eq \(BA,\s\up6(→)),如图所示.
3.文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
【题型归纳】
题型一:向量加法法则
1.(2023·全国·高一课时练习)如图,已知向量,,不共线,作向量++.
2.(2023·全国·高一课时练习)如图,已知向量,不共线,求作向量.
3.(2023·全国·高一课时练习)如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1);(2)(3).
题型二:向量加法的运算律
4.(2023·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中)向量化简后等于( )
A.B.C.D.
5.(2023·全国·高一课时练习)如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则等于( )
A.B.
C.D.
6.(2023·广东·茂名市华英学校高一阶段练习)向量化简后等于( )
A.B.C.D.
题型三:向量加法法则的几何应用
7.(2023·全国·高一课时练习)如图,D,E,F分别为的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.B.
C.D.
8.(2023·全国·高一课时练习)如图,在正六边形中,等于( )
A.B.C.D.
9.(2023·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习)如图,在平行四边形中,是的中点,设,,则向量( ).
A.B.C.D.
题型四:相反向量
10.(2023·辽宁·建平县实验中学高一期末)如图,在四边形中,与交于点,若,则下面互为相反向量的是( )
A.与B.与C.与D.与
11.(2023·山西临汾·高一阶段练习)在任意四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,设,下列式子正确的是( )
A.B.C.D.
12.(2023·全国·高一单元测试)若是的负向量,则下列说法中错误的是( )
A.与的长度必相等
B.
C.与一定不相等
D.是的负向量
题型五:向量减法法则
13.(2023·全国·高一课时练习)如图,已知向量,,,求作向量.
14.(2023·全国·高一课时练习)如图,点O是的两条对角线的交点,,,,求证:.
15.(2023·全国·高一课时练习)如图,已知,,,,,试用,,,,表示以下向量:
(1);(2);(3);(4);(5).
题型六:向量减法的运算律
16.(2023·全国·高一课时练习)下列运算正确的个数是( )
①;②;
③.
A.0B.1C.2D.3
17.(2023·北京市第一六六中学高一期中)在中,,若,,则( )
A.B.C.D.
18.(2023·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习)在平行四边形中,设为线段的中点,为线段上靠近的三等分点,,,则向量( )
A.B.C.D.
题型七:向量减法法则的几何应用
19.(2023·全国·高一课时练习)已知非零向量与方向相反,则下列等式中成立的是( )
A.B.
C.D.
20.(2023·全国·高一单元测试)已知正方形的边长为1,,,,则等于( )
A.0B.1C.D.2
21.(2023·全国·高一课时练习)如图,向量,,,则向量可以表示为( )
A.B.C.D.
【双基达标】
一:单选题
22.(2023·全国·高一课时练习)化简下列各式:①;②;③;④.其中结果为的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
23.(2023·全国·高一课时练习)已知、是不平行的向量,若,,,则下列关系中正确的是( )
A.B.
C.D.
24.(2023·全国·高一课时练习)若非零向量和互为相反向量,则下列说法中错误的是( ).
A.B.C.D.
25.(2023·全国·高一课时练习)已知点O是的两条对角线的交点,则下面结论中正确的是( ).
A.B.
C.D.
26.(2023·全国·高一课时练习)下列四式不能化简为的是( )
A.
B.
C.
D.
27.(2023·全国·高一课时练习)已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中,则=( )
A. B. C.D.
28.(2023·全国·高一课前预习)下列等式中,正确的个数为( )
①;②;③;④;⑤;⑥.
A.3B.4C.5D.6
29.(2023·重庆实验外国语学校高一阶段练习)如右图,,,分别是的边,,的中点,则( )
A.B.
C.D.
30.(2023·山东济南·高一期末)在中,若点满足,则( )
A.B.
C.D.
31.(2023·山东滨州·高一期末)在中,,,则( )
A.B.
C.D.
【高分突破】
一:单选题
32.(2023·全国·高一课时练习)设,是任一非零向量,则在下列结论中:
①;②;③;④;⑤.
正确结论的序号是( )
A.①⑤B.②④⑤C.③⑤D.①③⑤
33.(2023·山东枣庄·高一期中)已知点G是三角形ABC所在平面内一点,满足,则G点是三角形ABC的( )
A.垂心B.内心C.外心D.重心
34.(2023·全国·高一课时练习)下列命题中正确的是( )
A.如果非零向量与的方向相同或相反,那么的方向必与,之一的方向相同
B.在中,必有
C.若,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若,均为非零向量,则与一定相等
35.(2023·福建·莆田第二十五中学高一期中)如图,已知,,,,则下列等式中成立的是( )
A.B.
C.D.
36.(2023·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中)在平行四边形中,,设,,则向量( )
A.B.C.D.
37.(2023·湖南·高一阶段练习)在中,点,在边上,且,为边上的三等分点(其中为靠近点的三等分点),且,则( )
A.,B.,
C.,D.,
38.(2023·全国·高一课时练习)(多选)下列结论中错误的是( )
A.两个向量的和仍是一个向量
B.向量与的和是以的始点为始点,以的终点为终点的向量
C.
D.向量与都是单位向量,则
39.(2023·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习)下列各式结果为零向量的有( )
A.B.
C.D.
40.(2023·广东·南方科技大学附属中学高一期中)已知点,,分别是的边的中点,则下列等式中正确的是( )
A.B.
C.D.
41.(2023·江苏·南京二十七中高一期中)已知,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
42.(2023·广东·洛城中学高一阶段练习)化简以下各式,结果为的有( )
A.B.
C.D.
43.(2023·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习)下列命题中,正确的命题为( )
A.对于向量,若,则或
B.若为单位向量,且//,则
C.若与共线,与共线,则与共线
D.四边形中,
二:填空题
44.(2023·全国·高一课时练习)已知平面内三个不同的点、、,则“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的___________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)
45.(2023·全国·高一课时练习)已知下列各式:①; ②; ③; ④.其中结果为的是____.(填序号)
46.(2023·全国·高一课时练习)在中,D是BC的中点.若,,,,则下列结论中成立的是________.(填序号)
①;(2);③;④.
47.(2023·全国·高一课时练习)如图,在正六边形中,与相等的向量有__.
①;②;③;④;⑤;⑥;⑦.
三:解答题
48.(2023·全国·高一课时练习)化简.
(1).
(2).
49.(2023·上海·高一课时练习)向量如图所示,据图解答下列问题:
(1)用表示;(2)用表示;(3)用表示;(4)用表示.
50.(2023·全国·高一课时练习)化简:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7).
51.(2023·全国·高一课时练习)如图,四边形是以向量,为边的平行四边形,又,,试用、表示、、.
向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(BC,\s\up6(→))=b,则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线eq \(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
区别
联系
三角形法则
(1)首尾相接
(2)适用于任何向量求和
三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
【答案详解】
【详解】
由向量加法的三角形法则,
++如图,
2.作图见解析,
【分析】
利用向量的加法法则求解.
【详解】
如图,
在平面内任取一点O,作,.
因为,即,
所以.
3.
(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒
(1)
因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB为其对角线,所以.
(2)
因为与方向相同且长度相等,所以与是相同的向量,从而与方向相同,长度为长度的2倍,因此,可用表示,即.
(3)
因为与是一对相反向量,所以.
4.A
【分析】
根据向量的线性运算求解即可.
【详解】
由,
故选:A
5.B
【分析】
利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.
【详解】
.
故选:B
6.D
【分析】
根据向量的加法运算即可得到结果.
【详解】
故选:D
7.A
【分析】
根据平面向量的线性运算法则计算可得;
【详解】
解:,,分别是的边,,的中点,
,,,
则,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,故D错误;
故选:A.
8.A
【分析】
根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
【详解】
,.
故选:A.
9.B
【分析】
根据平行四边形的性质,利用向量加法的几何意义有,即可得到与、的线性关系.
【详解】
由题设,,则,又,
∴.
故选:B
10.B
【分析】
首先根据题意得到四边形是平行四边形,从而得到与为相反向量.
【详解】
因为,所以四边形是平行四边形,
所以,互相平分,所以,即与为相反向量.
故选:B
11.B
【分析】
根据题意,由向量的加法可得:和,两个式子相加,化简即可得到答案.
【详解】
在任意四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,设,
则,同时有,
则有,
因为E、 F分别为AD,BC的中点,则
则有.
故选:B.
12.C
【分析】
根据向量的定义判断.
【详解】
是的负向量,即,因此它们的长度相等,方向相反,即共线(平行),也是的负向量,但与一般不相等(只有它们为零向量时相等).错误的C.
故选:C.
13.见解析
【分析】
利用向量减法的三角形法则即可求解.
【详解】
由向量减法的三角形法则,
令,则,
令,所以.如下图中即为.
14.证明见解析
【分析】
利用向量的加法法则和向量相等求解.
【详解】
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以.
因为,
,
所以,
即.
15.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】
由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
16.C
【分析】
利用平面向量的加法,减法,数乘运算及其运算律判断.
【详解】
①,由数乘运算知正确;
②,由向量的运算律知正确;
③,向量的加法,减法和数乘运算结果是向量,故错误.
故选:C
17.C
【分析】
根据平面向量的线性运算法则,用,,表示出即可.
【详解】
.
故选:C
18.B
【分析】
根据题意作出图形,将用、的表达式加以表示,再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【详解】
解:由题意作出图形:
在平行四边形中,M为BC的中点,则
又N为线段AB上靠近A的三等分点,则
故选:B
19.C
【分析】
根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.
【详解】
A.可能等于零,大于零,小于零,,A不成立
B.,,B不成立
C.,C成立
D. ,D不成立.
故选:C.
20.A
【分析】
根据向量的线性运算即可求出.
【详解】
因为,,,所以.
故选:A.
21.D
【分析】
根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.
【详解】
如图,
.
故选:D.
22.B
【分析】
根据向量的加减运算法则计算,逐一判断①②③④的正确性,即可得正确答案.
【详解】
对于①:,
对于②:,
对于③:,
对于④:,
所以结果为的个数是,
故选:B
23.C
【分析】
结合向量的加法法则运算即可.
【详解】
=++===2.
故选:C
24.C
【分析】
根据相反向量的定义逐项判断即可.
【详解】
解:由平行向量的定义可知项正确;
因为和的方向相反,所以,故项正确;
由相反向量的定义可知,故选项正确;
由相反向量的定义知,故项错误;
故选:C.
25.B
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得;
【详解】
对于A:,故A错误;
对于B:,故B正确;
对于C:,故C错误;
对于D:,故D错误;
故选:B
26.D
【分析】
由向量加减法法则计算各选项,即可得结论.
【详解】
A项中,;
B项中,;
C项中,;
D项中,.
故选:D.
27.D
【分析】
由图形可得,从而可得正确的选项.
【详解】
,
故选:D.
28.C
【分析】
利用向量加减法的运算性质,转化各项表达式即可知正误.
【详解】
由向量加减法的运算性质知:①;②;③;④;⑤,正确;⑥,错误.
故选:C
29.A
【分析】
根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.
【详解】
解:,故A正确;
,故B错误;
,故C错误;
,故D错误.
故选:A.
30.A
【分析】
利用向量加减法公式,化简已知条件,即可判断结果.
【详解】
由条件可知,得.
故选:A
31.B
【分析】
利用向量加法和减法计算即可求解.
【详解】
,
故选:B.
32.D
【分析】
根据向量线性运算可确定为零向量,由此可判断得到结果.
【详解】
,
又是任一非零向量,,,,①③⑤正确.
故选:D.
33.D
【分析】
由题易得,以GA、GB为邻边作平行四边形GADB,连接GD,交AB于点O,进而可得,进而可得,所以CG所在的直线CO是AB边上的中线,同理可证AG所在的直线是BC边上的中线,BG所在的直线是AC边上的中线,最后得出答案即可.
【详解】
因为,所以,
以GA、GB为邻边作平行四边形GADB,连接GD,交AB于点O,如图所示:
则,所以,点O是AB边的中点,
所以CG所在的直线CO是AB边上的中线,
同理可证AG所在的直线是BC边上的中线,BG所在的直线是AC边上的中线,
所以G点是三角形ABC的重心.
故选:D.
34.B
【分析】
根据向量的线性运算法则,逐一分析各个选项,即可得答案.
【详解】
对于A:当与为相反向量时,,方向任意,故A错误;
对于B:在中,,故B正确;
对于C:当A、B、C三点共线时,满足,但不能构成三角形,故C错误;
对于D:若,均为非零向量,则,当且仅当与同向时等号成立,故D错误.
故选:B
35.C
【分析】
结合图形,利用向量加,减法,计算向量.
【详解】
,,
得,即.
故选:C
36.A
【分析】
利用向量的加、减法法则计算即可.
【详解】
解:.
故选:A.
37.B
【分析】
利用向量的加法、减法线性运算即可求解.
【详解】
,
所以,.
故选:
38.BD
【分析】
根据向量的相关概念,对选项逐一判断即可.
【详解】
两个向量的和差运算结果都是是一个向量,所以A正确;
两个向量的加法遵循三角形法则,只有当首尾相连时才成立,故B错误;
任何向量与相加都得其本身,故C正确;
两个单位向量的方向没有确定,当它们方向相同时才成立,故D错误;
故选:BD
39.ACD
【分析】
根据平面向量的线性运算逐个求解即可
【详解】
对A,,故A正确;
对B,,故B错误;
对C,,故C正确;
对D,,故D正确;
故选:ACD
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题
40.ABC
【分析】
根据向量线性运算确定正确选项.
【详解】
对于A选项,,正确;
对于B选项,,正确;
对于C选项,根据向量加法的平行四边形法则可知,正确;
对于D选项,,所以D错误.
故选:ABC
41.BCD
【分析】
根据向量的线性运算,逐项变形移项即可得解.
【详解】
根据复数的线性运算,
对A,化简为,错误;
对B,即,即,正确;
对C,对移项可得,正确;
对D,由,移项即,正确;
故选:BCD
42.ABCD
【分析】
根据向量的加减运算法则分别判断.
【详解】
,
,
,
.
所以选项全正确.
故选:ABCD
43.BD
【分析】
直接利用向量的线性运算,向量的共线,单位向量的应用判断、、、的结论.
【详解】
对于:对于向量,若,则与不存在关系,故错误;
对于:若为单位向量,且,则,故正确;
对于:若与共线,与共线,且,则与共线,当,则与不一定共线,故错误;
对于:四边形中,,整理得,
故正确;
故选:.
44.充分不必要
【分析】
利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性:若、、是一个三角形的三个顶点,由平面向量加法的三角形法则可得出,充分性成立;
必要性:若、、三点共线,则成立,此时、、不能构成三角形,必要性不成立.
因此,“、、是一个三角形的三个顶点”是“”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要.
45.①④
【分析】
利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式,即可确定结果是否为.
【详解】
①;
②;
③;
④.
故答案为:①④.
46.③
【分析】
根据平面向量的加减法判断即可.
【详解】
,故③成立;
故答案为:③
47.①④
【分析】
根据向量加减法运算可化简为,根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
四边形是平行四边形,,①正确;
与方向不同,②错误;与方向不同,③错误;
,④正确;
,⑤错误;与方向不同,⑥错误;
四边形为平行四边形,,⑦错误.
故答案为:①④.
48.(1);(2).
【分析】
(1)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果;
(2)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.
【详解】
(1);
(2).
49.(1);
(2);
(3);
(4).
【分析】
利用向量的加法法则、减法法则运算即可
【详解】
由图知,
(1);
(2);
(3);
(4)
50.(1).(2)(3).
(4)(5)(6).(7)
解:(1)原式.
(2)原式
(3)原式.
(4)原式
(5)原式
(6)原式.
(7)原式
【点睛】
本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题,属于基础题.
51.
解:,,,
.
.
,,
.
.
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