人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算测试题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算测试题，共24页。
考点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a⊥b.
考点二 空间向量的数量积

考点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

【题型归纳】
题型一：空间向量的数量积的运算
1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A．B．97C．D．61
2．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（ ）
A．1B．C．2D．4
3．在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则（ ）
A．B．C．D．2

题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）
4．如图所示，空间四边形中，，，则，的值是（ ）
A．0B．C．D．
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．2B．C．D．





6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1B．C．2D．

【双基达标】
一、单选题
7．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ）
A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可以
8．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A．B．
C．D．4
9．如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A．1B．C．9D．3
10．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．

11．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（ ）
A．60°B．120°C．30°D．90°
14．已知四棱柱的底面是矩形，，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A．B．C．D．
16．如图在长方体中，设，，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．


【高分突破】
一：单选题
17．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．，2，B．，2，C．，0，D．，0，
18．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）
A．B．C．D．
19．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
20．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
21．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A．B．C．D．






22．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A．B．C．D．
23．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A．B．C．D．
24．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，（ ）
A．B．C．D．

二、多选题
25．已知是正方体，以下正确命题有（ ）
A．；B．；
C．向量与向量的夹角为；D．正方体的体积为.

26．正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
27．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
28．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角是60°D．与AC所成角的余弦值为


三、填空题
29．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
30．已知是空间两个向量，若，则=________．



31．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.
32．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______．

四、解答题
33．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．




34．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：
；（2）；（3）；（4）.


35．如图，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）； （2）的长； （3）的长．








36．在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且.
（1）试用表示向量；
（2）若，，，，，求的值及

【答案详解】
1．C
【详解】
∵
，
∴，
故选：C.
2．C
【详解】
平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，作图如下：
令，，，
则，，，设，即，
由，得，
即，
解得：或（舍去），即.
故选：C.
3．A
因为四棱柱中，底面是正方形，，，，
则，
所以
.
故选：A.
4．A
，
，
，，
故选：A
5．B
【详解】
由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影为.
故选：B.
6．B
【详解】
∵，，
∴
，
又，，
∴
．
7．A
因为，
所以，
故选：A
8．C
【详解】
故选：C
9．D
【详解】
在平行六面体中，
有，，
由题知，，，，，
所以，，与的夹角为，
与的夹角为，与的夹角为，
所以
.
所以.
故选：D.
10．C
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
11．C
【详解】
、、两两垂直，则可得、、，
且、、、、，
A、B、D选项均正确，
故选：C．
12．A
【详解】
空间四边形各边及对角线长均为，
所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，
，
，所以
.
故选：A.
13．B
由题意得=(+)·(2)==，
||=，
||=.
=.
°.
故选:B.
14．D
【详解】


.
故选：D
15．A
【详解】
记，，，则，同理，，
由空间向量加法法则得，
∴，
∴，即．
故选：A．
16．A
【详解】
由长方体的性质可知，
，
所以
.
故选：A
17．C
【详解】
解：向量，0，，，2， ，
则，， ，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：C.
18．C
【详解】
如图：
由
,
,
19．B
由题意得，所以.
故选：B
20．B
对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
故选：B.
21．D
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
22．A
【详解】
记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
23．B
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
24．A
因为点M满足，
所以平面
因为点N满足，
所以直线，
若、最短时，则平面，，
所以M为的中心，N为的中点，
此时，
∵平面平面，
∴，
∴.
又，
∴.
故选：A.
25．AB
【详解】
A：两两垂直，且，所以，正确；
B：由，所以，正确；
C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；
D：由图知：，正方体的体积不为，错误；
故选：AB.
26．BC
如下图所示：
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选：BC.
27．AB
【详解】
由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确.
故选：AB.
28．AB
【详解】
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则

而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，

所以，所以D不正确.
故选：AB
29．
【详解】
，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：
30．
因为，
所以，
解得，
所以，
故答案为：
31．
【详解】
设，则且两两夹角为
所以
，
所以
故答案为：
32．
【详解】
因为，
所以
，
所以，所以的长为，
故答案为：.
33
∵

∴
，
∴，即AO⊥CD1.


34．
【详解】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴.
（2），，，
∴.
（3），，
又，，
∴.
（4）∵，，，
∴.
∴.
35．（1）；
（2），
，
，即的长为；
（3），
，
，即的长为.



36．
【详解】
（1）；
（2）
，
．
定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质
①a⊥b⇔a·b＝0
②a·a＝a2＝|a|2
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.
②a·b＝b·a(交换律)．
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).