第五章 一元函数的导数及其应用 章末归纳总结-2024-2025学年高二数学同步精品导与练（人教A版选择性必修第二册）

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第五章 一元函数的导数及其应用 章末归纳总结考点一 函数的求导【例1】（2023秋·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(3)(4)(5)【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以（3）；（4）；（5）.【一隅三反】（2023春·高二课时练习）求下列函数的导函数(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1）因为，所以；（2）函数可看做函数和的复合函数，由复合函数求导法则可得，（3）可化为，函数可看做函数和的复合函数，由复合函数求导法则可得，（4）（5）（6），考点二 切线方程【例2-1】（2023春·广东深圳）设函数，且为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ．【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，即，即，，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：【例2-2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）过点且与曲线相切的直线方程为 【答案】或 【解析】设切点为，因为，所以，故切线方程为，又因为切线过点，所以，整理得，解得或，当时，切线方程为，即，当，切线方程为，即.【例2-3】（2023·浙江 ）已知直线与曲线相切，则的最小值为 【答案】1或 由，知定义域为，设切点为，，，所以，故切点为，代入直线方程，则，，令，，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故的最小值为1.故选：B4．（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 .【答案】或 设点为曲线上一点，则又，则，则曲线在点处的切线方程为，又切线过点，则，即令，则，则时，单调递减；时，单调递增；时，单调递减，则时取得极小值，时取得极大值，又，当时，恒成立，时，，又由题意得方程有3个根，则与图像有3个交点，则.则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.    故答案为：5（2023·全国·高三专题练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .【答案】或       由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直..故答案为：.【一隅三反】1．（2023秋·陕西 ）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】C或 设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，当时，，故不存在；当时，满足：.所以：.故选：C.2．（2023秋·四川南充 ）过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，，则，即切线的斜率的取值范围是，所以倾斜角的取值范围是.故选：B3．（2023秋·河南 ）若曲线在点处的切线在y轴上的截距为1，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因为点在曲线上，所以，得，因为，所以该曲线在点A处的切线斜率，所以切线方程为，令，则，故.故选：A.4．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】设动点的坐标为，根据点到直线的距离公式有点到直线的距离，设，则，令得，令得，∴函数在区间上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值为，即的值域为，∴，∴当时，点到直线的距离的最小值为.故选：D.5．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）过点与曲线相切的直线方程为 ．【答案】【解析】设切点坐标为，，.则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增，所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为：6．（2023秋·广西南宁 ）已知曲线与的公切线为，则实数 .【答案】【解析】由函数，可得，设切点坐标为，可得，则切线方程为，即，与公切线重合，可得，可得，所以切线方程为，对于函数，可得，设切点为，则则 ，解得.故答案为：考点三 函数的单调性【例3-1】（2023·全国 专题练习）函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，，，则在上单调递减，在上单调递增.故选：A【例3-2】（2023秋·河南南阳 ）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，因为对称轴为，当时，，，所以当时，不恒成立，不符题意；当时，，当时，恒成立，则，解得．故选：D．【例3-3】（2023秋·云南昆明 ）设，，，设a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，则，当时，，函数在上为减函数，而，，，又，所以，即，故选：A【例3-4】（2023·全国·高二随堂练习）求函数的单调区间．【答案】详见解析.【解析】因为函数，所以，当时，，当时，，当时，；当时，令，得，，当或时，；当时，；当时，令，得或，当或时，，当时，，综上：当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，，减区间是；当时，的增区间是，减区间是，.【一隅三反】1．（2022秋·新疆阿克苏·高三校考期末）函数的单调递减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，令，得，所以的单调递减区间为，故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选：C.3（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，求导得，因为为上的增函数，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，即在R上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以当时，函数取得最大值，所以，所以的取值范围为.故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）已知，讨论的单调性．【答案】答案见解析【解析】因为所以的定义域为，，当时，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，令得或或（舍去），若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．若，则，在时，（仅当时取等号），单调递增．若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减．综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．5．（2023·广东）已知函数，讨论在定义域上的单调性．【答案】答案见解析.【解析】函数的定义域为，求导得，由，得或，当，即时，由，得，函数递增，由，得，递减；当，即时，由，得或，函数递减，由，得，函数递增；当，即时，，函数在上单调递减；当，即时，由，得或，函数递减，由，得，函数递增，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.6．（2023·安徽）讨论的单调性.【答案】答案见解析【解析】函数的定义域为：，且.（1）当时，，所以在上单调递减；（2）当时，，所以在上单调递减；（3）当时，（i）若，则，所以在上单调递增；（ii）若，则当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述：（1）当时，在上单调递减；（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；（3）当时，在上单调递增.考点四 极值与最值【例4-1】（2023秋·湖南长沙 ）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）  A．函数有最小值B．函数有最大值C．函数有且仅有三个零点D．函数有且仅有两个极值点【答案】A【解析】由函数图象可知、的变化情况如下表所示：由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增，函数的极小值分别为、，其极大值为.对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确；对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快，因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误；对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误；对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误.故选：A.【例4-2】（2023·福建）函数在区间上的最小值为（    ）A． B． C． D．0【答案】B【解析】因为，则，当时，则，可得；当时，可得；当时，则，可得；综上所述：在上恒成立，则在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为.故选：B.【例4-3】（陕西省宝鸡教育联盟2024届高三上学期阶段性检测（二）理科数学试题）已知函数与有相同的极值点，则实数（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由，可得函数的极值点为，又由，有，得，经检验符合题意.故选：A.【例4-4】（2023秋·四川遂宁 ）已知函数在处有极大值，则的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．1或3【答案】C【解析】，，∴或，当时，，令，得或；令，得；从而在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，不合题意，当时，经检验，满足题意；综上，.故选：C【一隅三反】1．（2023春·河北唐山·高二校联考期中）（多选）已知函数，则（    ）A．的极小值为 B．的极大值为C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增【答案】BD【解析】因为，该函数的定义域为，且，令，可得或，列表如下：所以，函数在上单调递增，BD对，AC均错.故选：BD.2．（2023·全国·高三专题练习）函数是（    ）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数；且最大值为 D．偶函数；且最大值为3【答案】C【解析】定义域为R，且，故为奇函数，排除BD；由于，所以是的一个周期，要想求解的最大值，只需考虑的情况，，当时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，故在处取得极大值，，又，故的最大值为.故选：C3．（2023春·重庆长寿 ）（多选）已知函数，则（    ）A．当时，函数的极大值为 B．若函数在上单调递增，则或C．函数必有两个极值点 D．函数必有三个零点【答案】ACD【解析】对于A，当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，则函数的极大值为，故A正确；对于B，函数在上单调递增，则恒成立，由，可得必有两根，且，则在单调递减，故B错误；对于C，由B选项可知，在单调递减，在上单调递增，故函数必有两个极值点，故C正确；对于D，，而，其中，则必有两相异实根，且不为0，故必有3个零点，故D正确；故选：ACD4．（2023·浙江·模拟预测）已知函数在区间上恰有三个极值点和三个零点，则的取值范围是 .【答案】【解析】，，，设，，有三个极值点和三个零点，由的性质可得，，.故答案为：.5．（江西省先知高考2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知函数在上存在极值点，则正整数的值是 .【答案】5【解析】由题设在内有解，且此解左右两侧异号，即，整理得在有解，得，故.故答案为：5考点五 综合运用【例5】（2023秋·江苏泰州 ）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)求证：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】1）因为，所以．①当时，在单调递减；②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，要证明，只要证，即证，设，则，令得，列表得所以，即，所以．【一隅三反】1．（2023秋·陕西榆林 ）已知：.(1)当时，求的单调性；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)函数的减区间为，增区间为；(2)【解析】（1），，则，设，则，故为增函数，且，所以在区间上，为减函数；在区间上，为增函数，所以函数的减区间为，增区间为；（2）时，时，不合题意；时，，设，，故为增函数，而时，；时，，故，使，，且上，，在上，，故最小值为，即，令，则，即在上单调递减，故的解集为.对有，即为增函数，故.2．（2023秋·河南 ）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，求实数a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）依题意，得.当时，，所以在单调递增.当时，令，可得；令，可得，所以在单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）因为当时，，所以，即，即，即.令，则有对恒成立.因为，所以在单调递增，          故只需，即对恒成立.令，则，令，得.当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以.因此，所以.3（2023秋·江苏 ）已知函数.（e为自然对数的底）(1)若曲线在处的切线与曲线也相切，求；(2)，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，所以曲线在处的切线的方程为设直线与与曲线切于点，又，则直线方程为：，即所以，所以，因为，所以.综上，的值为（2）因为，，所以，令，则，所以在上递增，当时，，故在上递增，所以；满足题意；当时，因为，所以存在，使得，又在上递增，当时，，即递减.所以，故不符合题意.所以的取值范围为.增极大值减极小值增a10单调递减极小值单调递增