高中第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试导学案

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1．(多选)自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是( )
A．从x0到x1的平均变化率
B．在x＝x1处的变化率
C．点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案 AC
解析 eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx0,x1－x0)表示函数从x0到x1的平均变化率，也表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率．
2．已知物体的运动方程为s＝t2＋eq \f(3,t)，则物体在t＝2时的瞬时速度为( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(17,4) C.eq \f(15,4) D.eq \f(13,4)
答案 D
解析 ∵s′＝2t－eq \f(3,t2)，∴s′|t＝2＝4－eq \f(3,4)＝eq \f(13,4).
3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－eq \f(1,4) C．2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
4．对于函数f(x)＝eq \f(ex,x2)＋ln x－eq \f(2k,x)，若f′(1)＝1，则实数k等于( )
A.eq \f(e,2) B.eq \f(e,3) C．－eq \f(e,2) D．－eq \f(e,3)
答案 A
解析 因为f′(x)＝eq \f(exx－2,x3)＋eq \f(1,x)＋eq \f(2k,x2)，
所以f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝eq \f(e,2)，故选A.
5．若曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为( )
A．1 B．e C．－eq \f(1,e) D.eq \f(1,e)
答案 D
解析 设M(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x)(x>0)，
所以切线斜率为k＝
所以切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝eq \f(1,x0)(0－x0)，
即ln x0＝1，所以x0＝e.
所以k＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,e)，故选D.
6．已知f(x)＝eq \f(f′1,x)＋4x，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 因为f(x)＝eq \f(f′1,x)＋4x，
所以f′(x)＝－eq \f(f′1,x2)＋4，
所以f′(1)＝－eq \f(f′1,12)＋4，即f′(1)＝2.
7.若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位：m，时间单位：s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
答案 0.4
解析 ∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
8．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，则a＝________，切点的横坐标为________．
答案 1 ln 2
解析 由题意可得，f′(x)＝ex－eq \f(a,ex)是奇函数，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋eq \f(1,ex)，f′(x)＝ex－eq \f(1,ex).∵曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq \f(3,2)，∴eq \f(3,2)＝ex－eq \f(1,ex)，可得ex＝2(舍负)，∴x＝ln 2.
9．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)x4＋6；
(2)f(x)＝(5x－4)cs x；
(3)f(x)＝eq \f(ln2x,x).
解 (1)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x4＋6))′＝x2－2x3.
(2)f′(x)＝[(5x－4)cs x]′＝5cs x－5xsin x＋4sin x.
(3)f′(x)＝eq \f([ln2x]′×x－[ln2x]×x′,x2)＝eq \f(1－ln 2x,x2).
10．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
解 ∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1，
又f′(x)＝2ax－2＋eq \f(1,x＋1)，∴f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，切线l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x有f(x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为( )
A．3 B.eq \f(5,2) C．2 D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 f′(0)＝b>0.对于任意实数x有f(x)≥0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0，))则2eq \r(ac)≥b，因此eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋c,b)＋1≥2.当且仅当a＝c＝eq \f(b,2)时，取等号．
12．若函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，且f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(1)等于( )
A．24 B．－24 C．10 D．－10
答案 A
解析 ∵f′(x)＝(x－1)′·(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋[(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′·(x－1)，∴f′(1)＝(1－2)×(1－3)×(1－4)×(1－5)＝24.故选A.
13．若函数f(x)＝－eq \f(1,b)eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为( )
A．4 B．2eq \r(2)
C．2 D.eq \r(2)
答案 D
解析 函数的导数为f′(x)＝－eq \f(1,b)eax·a，
所以f′(0)＝－eq \f(1,b)e0·a＝－eq \f(a,b)，
即在x＝0处的切线斜率k＝－eq \f(a,b)，
又f(0)＝－eq \f(1,b)e0＝－eq \f(1,b)，
所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,b)))，
所以切线方程为y＋eq \f(1,b)＝－eq \f(a,b)x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即0当且仅当a＝b＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，
所以a＋b的最大值是eq \r(2)，故选D.
14．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
答案 eq \r(2)
解析 令y′＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)舍去))，
故当点P坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离为d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2).
15．曲线y＝e2xcs 3x在点(0,1)处的切线与过点(2,3)的直线l垂直，则直线l的方程为________________．
答案 x＋2y－8＝0
解析 由题意知y′＝(e2x)′cs 3x＋e2x(cs 3x)′
＝2e2xcs 3x＋3(－sin 3x)·e2x
＝2e2xcs 3x－3e2xsin 3x，
所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝0＝2.
所以直线l的斜率为－eq \f(1,2)，直线l的方程为y－3＝－eq \f(1,2)·(x－2)，即x＋2y－8＝0.
16．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．
解 (1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，故所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，xeq \\al(3,0)－3x0)．由f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－3，
得直线l的方程为y－(xeq \\al(3,0)－3x0)＝(3xeq \\al(2,0)－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
所以－2－(xeq \\al(3,0)－3x0)＝(3xeq \\al(2,0)－3)(1－x0)，
即(x0－1)2(x0＋2)＝3(xeq \\al(2,0)－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq \f(1,2)，
故直线l的斜率k＝－eq \f(9,4)，
故直线l的方程为y－(－2)＝－eq \f(9,4)(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.