第五章 一元函数的导数及其应用（选拔卷）-【单元测试】高二数学尖子生选拔卷（人教A版2019选择性必修第二册）

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第五章 一元函数的导数及其应用选拔卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•金安区月考）函数在区间存在极值点的一个充分不必要条件为　　A． B． C．， D．【答案】D【解析】函数，，令，化为：，令，．，可得函数在，上单调递减，在上单调递增．（3），（1），函数在区间存在极值点，因此函数在区间存在极值点的一个充分不必要条件为，故选D．2．（2021秋•驻马店月考）已知函数，，直线与的图象相切于点，若直线与的图象也相切，则　　A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【解析】，，则（1），则直线的斜率为，函数在处的切线方程为，由，得，由直线与抛物线相切的条件可得△，解得或．故选D．3．（2021秋•湖南月考）已知没有极值，则实数的取值范围是　　A．， B．，， C．， D．，，【答案】C【解析】，为开口向上的抛物线，没有极值，恒成立，即△，解得．故选C．4．（2021秋•上月考）已知函数，，若，都有，则实数的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】函数的导数，函数在上单调递减，在上单调递增，，则，若对任意，，都有成立，即当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，令，则，，当时，，即在上单调递减，由于（1），则当时，；当时，，（1），，故选B．5．（2021秋•昌江区月考）设函数，则满足的为　　A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以奇函数，又因为，因为，仅当时，等号成立，又因为，所以当时，，因为，所以，，所以在上单调增加，所以，故选C．6．（2021秋•五华区月考）已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是　　A．（1） B．（2）（1） C． D．（1）【答案】D【解析】设，则，又，又因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以（1），得（1），故选D．7．（2021秋•道里区期中）设函数在上的导函数为，若，，（6），则不等式的解集为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，，在上单调递增①，且（6），（6），，不等式，即，由①得，故不等式的解集为．故选A．8．（2021秋•龙湾区期中）已知定义在上的函数，满足，且（2），则不等式的解集为　　A． B． C． D．【答案】A【解析】定义在上的函数，满足，即，即，令，由增函数的定义，得函数在上单调递增；因为（2），则（2），所以不等式，即（2），所以；所以不等式的解集为，故选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021春•浦城县期中）已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为　　A．的单调减区间是， B．的极小值是 C．函数有两个零点 D．当时，对任意的且，恒有（a）（a）【答案】BD【解析】，其导函数为，令，解得，，当变化时，，的变化情况下表：所以，当时，函数有极大值，极大值为，当时，函数有极小值，极小值为（2），所以函数只有一个零点，故错误，正确；设，则，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递增，设（a）（a），则（a），令，得，根据函数的单调性，知函数在处取得极小值也是最小值（a），故当时，对任意的，且，恒有，即（a）（a），故正确；故选BD．10．（2021春•湖南期中）对于函数，下列说法正确的是　　A．在处取得极大值 B．在上单调递减 C．有且只有一个零点 D．若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】由已知得，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故的极大值是，故正确，错误；当时，，，所以函数在上有唯一零点．又，，所以不存在零点；只有唯一零点；若对任意恒成立，则对任意恒成立，设，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故，故，故正确，故选ACD．11．（2021秋•沙坪坝区月考）已知函数，，则下列命题正确的是　　A．函数，当时，有最小值 B．函数在区间上单调递减 C．若函数有两个极值点，则实数 D．若不等式，对于任意的恒成立，则的最大值为【答案】ABD【解析】函数，则，又，所以，对于，函数，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，故选项正确；对于，由选项可知，在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项正确；对于，有两个极值点，则 ‘有两个零点，所以有两个不等的实根，即有两个不等的实根，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），又当时，，当时，，所以的图象如图所示，由图可知，，解得，故选项错误；对于，不等式对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，令，则，令，即，解得，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故当时，，则，故单调递减，当时，，则，故单调递增，所以当时，取得最小值（1），故，所以的最大值为，故选项正确．故选ABD．12．（2021秋•湖南期中）已知函数，，下列说法正确的是　　A．对于，都存在零点 B．若，恒成立，则正实数的最小值为 C．若，图像与直线分别交于，两点，则的最小值为 D．存在直线与，的图像分别交于，两点，使得在处的切线与在处的切线平行【答案】BCD【解析】对于选项：因为，存在使得，故在递减，在区间，递增，的最小值为，当时，不存在零点，故错误；对于选项：不等式化为，又因为函数在上递增，故同构可得，，即的最大值，设，，所以，当，，单调递增，当，，单调递减，所以当时，取最大值，最大值为，故成立，故正确；对于选项：可知，，，，令，所以，且在上递增，且，当，，当，，所以，故正确；对于选项：假设存在满足题意，可知，，，，，，，因为在在处与在处的切线平行，所以有，，即，解得，故存在符合题意，故正确；故选BCD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021春•洛阳期中）设实数，若对任意的，，关于的不等式恒成立，则的最大值为 　　．【答案】【解析】令，恒成立，即，，如图所示：函数与，在第一象限有且只有一个交点，所以当时，，即，在上单调递减，当时，，即，在上单调递增，令，即，即，解为，，所以在上单调递增，所以（1），因为，即，令，，令，即，解得，若，则的最大值为．故答案为：．14．（2021秋•道里区期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 　　．【答案】【解析】曲线是把曲线向右平移1个单位得到的，曲线是把曲线向右平移1个单位得到的．可把问题转化为在曲线上，点在曲线上，求的最小值问题．曲线自然对数的底数）与曲线互为反函数，其图象关于对称，故可先求点到直线的最近距离，设曲线上斜率为1的切线为，，由，得，故切点坐标为，即，，丨丨的最小值为．故答案为：．15．（2021春•丽水期中）已知函数，对于任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 　　．【答案】【解析】不妨设，所以原式可变为，所以，所以为单调增函数，则恒成立，所以当时，只需要，解得，当，只需要，解得，综上可知，的取值范围为，故答案为：．16．（2021秋•沙河口区期中）已知函数，，若，，则的最大值为 　　．【答案】【解析】由题意得，，即，由函数，得，所以时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，作函数的图象如图所示，由图可知，当时，有唯一解，故，且，，设，，则，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以（e），即的最大值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2021秋•潍坊月考）已知函数为奇函数，且方程有且仅有一个实根．（1）求函数的解析式；（2）设函数，若，对，，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）函数为奇函数，，即，化简得，解得，，又方程有且仅有一个实根，方程有且仅有一个实根，△，解得或，又，，．（2），即，，令，由题意，若，对，，使得成立，只需，，当且仅当，即时，等号成立，，对于，令，，，设，①当时，，即，得，②当时，，即，而，，③当时，，即，得，，，综上所述，实数的取值范围为，．18．（12分）（2021秋•顺德区月考）设函数．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）对任意正实数，，当时，试判断与的大小关系并证明．【答案】（Ⅰ），，令得；令得或，的递增区间为，递减区间为，．（Ⅱ）结论：，证明如下：，设，由，均为正数且得，设，则，①当时，由得，即，单调递减，（1），又，，②当时，在上单调递减，在，上单调递增，的最小值为，此时只需证，化简后即证，设（a），，（a）单调递增，（a）（2），即证得，综上所述，不等式得证．19．（12分）（2021秋•道里区期中）已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，当时，满足，求证：．【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，，当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，故在上单调递减；综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）证明：，，，则，又，要证，即证，即证，即证，又，则设，即证，设，则恒成立，在上单调递减，则（1），，即．20．（12分）（2021秋•浙江期中）已知函数．（1）若函数在处的切线斜率为1，求的值；（2）若有两个极值点为，，且，①求实数的取值范围；②若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），依题意，，解得；（2）①，有两个极值点，，有两正根，，且，解得，实数的取值范围为；②由，可得，同理，而不等式可化为，又，则，，，又，，且，则，只需，，，，令，则，设，则，设，则，在上单调递增，则（1），在上恒成立，则在上单调递减，则（1），又，，则，实数的取值范围为，．21．（12分）（2021秋•潍坊月考）已知函数．（1）当时，求函数在点，（1）处的切线方程；（2）当时，曲线上存在分别以，和，为切点的两条互相平行的切线，若恒成立，证明：．【答案】（1）解：当时，，（1），，（1），函数在点，（1）处的切线方程为，即；（2）证明：由题意知，，即，整理得：，，，，．22．（12分）（2021秋•成都期中）已知函数，．（1）判断函数在其定义域上的单调性（不需要证明）；（2）对任意的，，都有，若存在的两个取值，，使得为常数），求的值．【答案】（1）由，，得在上单调递增．（给出判断即可：根据对数函数的单调性可知在上单调递增，又因为也上单调递增，故在上单调递增）．（2）由，即，化简，因为，，所以，又由题意可知，所以，所以两边取对数得，整理得，即，即（b），由（1）知，在上单调递增，所以，又因为，即存在，，使得成立，不妨设，即，即，即，所以．，200单调递增极大值单调递减极小值单调递增