高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义优秀练习题

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考点一 平均速度
【例1-1】（2023春·广东梅州·高二统考期中）函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据平均变化率的定义可知，.
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
【例1-2】（2023春·广东广州·高二校联考期中）已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【解析】记，，
由图易知，所以．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023春·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
2．（2023春·广东汕尾·高二华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，
由图可知，
所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：C
3．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考期中）函数在区间上的平均变化率为3，则实数m的值为（ ）
A．3B．2C．1D．4
【答案】B
【解析】由已知得，∴，∴，故选B.
考点二 瞬时速度
【例2-1】（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s
【答案】C
【解析】由，求导得：.
当时，，解得（舍去）.
故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故选：C
【例2-2】（2023春·广东肇庆·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9B．-10.9C．5D．-5
【答案】D
【解析】因为，
所以，
令，得瞬时速度为．
故选：D.
【一隅三反】
1．（2022春·广东佛山·高二罗定邦中学校考期中）一质点的运动方程为（路程S的单位：；时间t的单位：），则该质点在时的瞬时速度为（ ）
A．9B．12C．3D．6
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以当时，，
所以该质点在末的瞬时速度为6m/s
故选：D
2．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）质点运动方程，那么当质点在 时的速度为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】因为，
所以 时的速度，
故选：A
3．（2023·广东广州 ）曲线在点处的瞬时变化率为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】由题设，有.故选：B
4．（2023·广东茂名 ）一辆汽车按规律做直线运动，若汽车在时的瞬时速度为4，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】由导数的物理意义得，将代入得，解得.
故选：C.
考点三 在某点处的导数
【例3】（2023春·广东汕尾·高二校考阶段练习）若可导函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由导数的定义知：.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故
故选：B
2．（2023·广东珠海· ）已知函数的导函数为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故选：D.
3．（2023·广东 ）设函数在处可导，且，则等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由导数的定义可得，
因为，所以，故选：A.
考点四 求曲线的切线的斜率或倾斜角
【例4-1】（2023·广东肇庆）设f(x)为可导函数且满足，则在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率为
A．2B．-1C．1D．-2
【答案】B
【解析】由
根据导数的定义可得:.
在曲线y=f(x)上点(1,f（1）)处的切线斜率
故选：B
【例4-2】（2023·广东广州 ）曲线在点处切线为，则 等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【解析】由题意可得
而
故选：C.
【例4-3】（2023春·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023·广东韶关·高二校考阶段练习）设是可导函数，且，则
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】
本题正确选项：
2．（2023·辽宁大连 ）已知函数，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数，
则，
所以，解得.
故选：B.
3．（2022·河南）已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°
C．135°D．165°
【答案】B
【解析】，
，
所以在点处切线的斜率为，
故切线的倾斜角为45°.
故选：B
考点五 切线方程
【例5-1】（2023春·高二课时练习）（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）求函数在点处的切线方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1），
故所求切线的斜率为2，切线方程为，即．
（2）因为，
故所求切线的斜率为6，切线方程为，即．
【例5-2】（2022·高二课时练习）求曲线y＝x3过点(－1，－1)的切线方程.
【答案】3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0
【解析】设所求切线的切点坐标为，则.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于，
所以曲线在切点处的切线的斜率为，
则所求切线方程为.
因为切线过点(－1，－1)，
所以，即，解得或，
即所求的切线有两条，方程分别是y＝3x＋2和，
即3x－y－2＝0和3x－4y－1＝0.
【一隅三反】
1．（2022·高二课时练习），在处切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在处切线方程为，即．
故选：B．
2．（2023春·高二课时练习）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.
【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0
【解析】设所求切线的切点坐标为，则＝＝2x0＋Δx.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0，
所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0，
则所求切线方程为y－x＝2x0(x－x0).
因为切线过点P(3， 5)，
所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或5，
即所求的切线有两条，方程分别是y＝2x－1和y＝10x－25，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
3．（2023·高二课时练习）已知曲线上的两点和，求：
(1)割线AB的斜率；
(2)过点A的切线的斜率；
(3)点A处的切线的方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）由已知可得，.
（2）令，，
根据导数的定义可得，.
①当切点为点时，根据导数的几何意义知；
②当切点不是点时.
设切点坐标为，，则，
又，所以有，解得，
因为，所以此时无解.
综上所述，过点A的切线的斜率.
（3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率，
代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为.
考点六 利用图象理解导数的几何意义
【例6】（2023广东）函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图象可知，函数在上单调递增，所以当时，，
即，，，
又因为曲线在点处切线的斜率随着的增大而减小，即在点处切线的斜率随着的增大而减小，
故.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·高二课时练习）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】和分别表示函数在和处的切线斜率，结合图象可得，而，表示过和两点的直线斜率，则
故选：D
2．（2023秋·高二课时练习）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又
即
故选：D.
3．（2023·高二课时练习）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．2
【答案】A
【解析】因为切线方程为：，故，且，故
故选：A
4．（2023秋·高二课时练习）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，且；
故选：A