高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义导学案

5.1.1变化率问题  导学案

1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.

2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.

3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．

重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法

难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念

1．平均变化率

对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：

(1)自变量的改变量：Δx＝_______.

(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．

(3)平均变化率＝         ＝              .

x2－x1；f (x2)－f (x1)；；

2.瞬时速度与瞬时变化率

(1)物体在________的速度称为瞬时速度．

(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝                  .

某一时刻；  

3．曲线的切线斜率

(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的_____．

(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率                    就是y＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝                      .

斜率；切线 ； ；

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　)

(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　)

(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (　　)

(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成

k＝ ． (　　)

2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)

A．f (x0＋Δx)　　   B．f (x0)＋Δx

C．f (x0)·Δx         D．f (x0＋Δx)－f (x0)

3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)

A．4          B．4.1      C．0.41        D．－1.1

一、    学习导引

    在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。

二、新知探究

问题1   高台跳水运动员的速度

高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.

如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

     直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。

例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，

在 1≤ t ≤2这段时间里，

一般地，在 ≤ t ≤这段时间里，

探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

       为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？

问题2. 抛物线的切线的斜率
        我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线为例进行研究.

探究3. 你认为应该如何定义抛物线在点处的切线？

  与研究瞬时速度类似为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近取一点考察抛物线的割线 的变化情况。

探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线T的斜率呢？

从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线T的斜率与割线P的斜率有内在的联系，

记点P的坐标，于是割线P的斜率

+2

      利用计算工具计算更多割线P的斜率的值，当无限趋近于0时，割线P的斜率有什么变化趋势？

      从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线P无限趋近于点处的切线，这时，割线P的斜率无限趋近于点处的切线的斜率，因此，切线的斜率=2.

三、典例解析

例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，

求物体在t＝1 s时的瞬时速度．

求运动物体瞬时速度的三个步骤

设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：

1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0.

2求平均速度：＝.

3求瞬时速度v：当Δt→0时，→v常数.

跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．

跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.

例2.已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为?

1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)

A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率

B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率

C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率

D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率

2．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则等于________．

3．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

4．求函数y＝在x＝2处的切线的斜率．

1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法

2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念

参考答案：

知识梳理

1．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

 (　　)

2．D　[Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选D.]

3．B　[＝＝＝＝4.1，故选B.]

学习过程

二、    新知探究

三、    典例解析

例1． [思路探究]　

―→

[解]　∵＝＝＝3＋Δt，

∴ ＝ (3＋Δt)＝3.

∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.

即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.

跟踪训练1． [解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．

∵＝＝＝1＋Δt，

∴ (1＋Δt)＝1.

∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，

即物体的初速度为1 m/s.

跟踪训练2． [解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.

又＝＝(2t0＋1)＋Δt.

 ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.

则2t0＋1＝9，

∴t0＝4.

则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.

例2.解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－

＝Δx＋1－＝Δx＋，

∴＝＝1＋，

∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.

达标检测

1．C　[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]

2． 4＋2Δx　[Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝2Δx＋4.]

3． [解]　(1)因为f (x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.

(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)

=3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.

函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的

平均变化率为＝6x0＋3Δx.

4． [解]　∵Δy＝－＝－1＝－，

∴＝－，

∴k＝ ＝ ＝＝－1.