高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教案

这是一份高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义教案，共13页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。

《导数的概念及其意义》教学设计
课时3导数的几何意义
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
变化率问题
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
迁移创新能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
数学抽象
直观想象
数学运算
【考查内容】
1.利用导数的几何意义求曲线在某点处(过某点)的切线方程或者根据斜率求切点坐标
2.导数的几何意义和解析几何的知识联系综合解题
【考查题型】
填空题、解答题
导数的概念
数学抽象
直观想象
数学运算
导数的几何意义
数学抽象
直观想象
数学运算
逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:

核心知识
1.变化率问题
2.导数的概念
3.导数的几何意义
直观想象
数学抽象
逻辑推理
数学运算
核心素养





二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.变化率问题
2.导数的概念
3.导数的几何意义
【教学目标设计】
1.了解平均变化率的概念.
2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.
3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.
【教学策略设计】
学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.了解函数的变化率、平均变化率.
2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.
3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.
难点:
1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.
2.准确理解导数概念,体会极限思想.
3.发现、理解并应用导数的几何意义.
【教学材料准备】
1.常规材料:计算器、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:________________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:通过平均变化率的学习,你知道函数平均变化率的几何意义是什么?
生:表示割线的斜率.
师:导数的概念是什么?请写出表达式.
生:一般地,如果时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数,记作或,即.
师:我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,那么导数的几何意义是什么呢?
【以学论教】
通过复习回顾上节课所学知识,将新旧知识进行融合,学生更自然地过渡到本节课的学习.
教学精讲
探究1 曲线的切线及切线的斜率
师:如图,当点沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么?
【情境设置】
探究曲线的切线
观察函数的图象平均变化率.表示什么?瞬时变化率表示什么?

生:表示割线的斜率,瞬时变化率表示在处的切线斜率.
【以学定教】
利用多媒体展示,使学生经历探究“导数的几何意义”的建构过程,从而准确理解“导数的几何意义”,掌握数形结合,类比讨论的思想方法.
【引导学生观察,合作交流,自由发言,教师予以肯定】
师:容易发现平均变化率表示割线的斜率.
【要点知识】
切线的概念
我们发现,在曲线上任取一个点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
师:通过展示,请问:(1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系?
(2)切线的斜率为多少?
【学生独立观察,自主探究,合作交流】
生:割线的斜率是,记,当点沿着曲线无限接近点时,即当无限趋近于函数在的导数,因此函数在处的导数就是切线的斜率,即.
师:以上的斜率就是导数的几何意义.
师:所以设切线的倾斜角为,那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.对于这个概念,给我们提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法,并且我们还发现切线斜率的本质与函数在处的导数有关.
【学生通过阅读教材,整理笔记,深刻理解切线的斜率.教师提出问题,引导学生继续观察】
师:我们现在分组讨论问题:(1)曲线在某点的切线一定存在吗?(2)曲线的切线是否与曲线有交点.
【学生独立观察,自主探究,合作交流,教师引导,组织学生充分讨论,交流,分组汇报讨论结果,合作总结】
曲线在某点处的切线:
(1)与该点的位置有关.
(2)割线是否有极限,根据位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线.
(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
师:我们学习了导数的几何意义,可以知道,由曲线在一点处的导数能够知道曲线在这点处的切线的特征,反过来,由曲线在一点处的切线斜率,借助图象,能够知道曲线在这点处的导数的特征.
【意义学习】
学生自主探究、交流教师所设问题,通过对斜率的探究得出导数的几何意义,体现意义学习.
【设活动 深探究】
教师设置问题由浅入深,承上启下,步步过渡引出结论,得到导数与切线的关系,引出对导数的几何意义的学习.
【情境设置】
导数与切线的关系
当,分别说明了什么?
当时,说明切线与轴正向的夹角为锐角.当说明切线与轴正向的夹角为钝角.当说明切线与轴平行.
探究2 导数的几何意义
师:我们再来看一下导数的几何意义.
【要点知识】
导数的几何意义
函数在上任意一点处的切线的斜率是在处的导数,
即,也就是说,曲线在点,处的切线的斜率是.
师:导数的本质是从代数(数)的角度来诠释.若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义,那么我们根据导数就可以解决曲线的切线问题,该如何求曲线的切线问题呢?
生:利用上节课求函数在点处的导数的方法来求曲线在点处的切线的斜率,,再求直线方程.
【归纳总结】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
1.求出点的坐标.
2.求出函数在点处的瞬时变化率,得到曲线在点的切线的斜率.
3.利用点斜式求切线方程.
师:若在点处切线的倾斜角为,此时切线平行于轴,导数不存在,不能用上述方法求切线的方程,可根据切线的定义直接得切线方程为.
【先学后教】
先引导学生分析具体现象,教师由浅入深的提出问题,学生跟随教师的点拔逐渐接受新知识的学习,最后师生共同总结归纳出导数的几何意义,培养学生学习的主动性和探究能力.
【意义学习】
回顾上节课所学知识,总结归纳出求曲线在某点处的切线方程的基本步骤.
【概括理解能力】
根据以往求直线方程的经验和导数的几何意义,学生可以将求切线的基本步骤进行概括,加深对步骤的理解.
师:我们根据所学来看例题.
【典型例题】
导数几何意义的应用
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的切线方程.
【学生独立思考,并书写解题过程】
生解:(1),所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为,即.
(2)因为.所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为,即.
师:应用举例中我们都是求曲线在某点处的切线方程,有时例题中我们需要求曲线过某点的切线方程,我们要分清“在”和“过”,曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别如下:
曲线“在”点处的切线是指点为切点,若切线斜率存在,则切线斜率为,是唯一的一条切线;曲线“过”点的切线,是指切线经过点,点可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能不止一条.
【分析计算能力】
根据所学知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.利用导数的几何意义求斜率、求切线方程的基本方法和步骤比较固定,但因为函数的不同,运算难度也不同,教师时刻关注学生计算的处理方式,提高运算技巧.
师:接下来看下一题.
【典型例题】
例2 如图,它表示高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数,根据图象,请描述、比较曲线在附近的变化情况.

生解:我们用曲线在处的切线斜率,刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
(1)当时,曲线在处的切线平行于轴,所以,在附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.
(3)当时,曲线在处的切线的斜率,所以,在附近曲线下降,即函数在附近单调递减.
师:从图可以看出,直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢.
师:通过对曲线在附近的变化情况的分析,图象在到的区间内一直是单调递减的,只是下降的缓慢程度有所不同.我们得到如下结论:从求函数在处的导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的函数,我们称它为的导函数(简称导数).
【先学后教】
引导学生分析应用举例,在完成的同时体会类似的相关问题,由教师总结处理办法和相关策略,使学生对于这种问题印象深刻,运用自如.
【以学论教】
通过总结,学生明确了导函数的概念,明确了函数在点处的导数与导函数之间的区别与联系.
探究3 导函数
【要点知识】
导函数的概念
从求函数在处的导数的过程可以看到,当时,是一个唯一确定的数.这样,当变化时,就是的一个函数,我们称它为的导函数.记作:或,即,导函数也简称导数.
师:对于我们这节课的概念我们要认真区分,对于函数在点处的导数、导函数、导数,它们之间的区别与联系是什么?
【概括理解能力】
根据这节和上节课的学习,让学生对易混淆的概念进行自主概括和区分,发展学生的概括理解能力.
【学生阅读教材,整理笔记,合作交流,互相补充,教师适当点拨】
【要点知识】
函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
1.“导函数”是“函数”.函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值,即.所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算这点处的导函数值.
2.导函数也简称导数,所以“导数”与“导函数”的关系如下:

【自主学习】
根据本节课的学习和对应用举例的处理,学生可以自主解决本例题,体现以学生为主体的原则,增强学生解决问题的能力.
师:接下来我们练习一道例题.
【典型例题】
导函数的实际应用
例3:如图,是人体血管中药物浓度(单位:随时间(单位:)变化的图象.根据图象,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).

【教师讲解,学生思考,师生互动,教师板书】
师解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在此点处的切线的斜率.
如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线,并在切线上取两点,如,则该切线的斜率为:,
所以.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值.

0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
师:通过这节课你学习到了什么知识?
【课堂小结】
导数的几何意义
1.曲线的切线及切线的斜率.
2.导数的几何意义.
【设计意图】
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开.先回忆导数的实际意义、数值意义,由数到形,自然引出从图形的角度研究导数的几何意义.然后,类比“平均变化率—瞬时变化率”的研究思路,运用逼近思想定义了曲线上某点的切线,再引导学生从数形结合的角度思考,获得导数的几何意义—“导数是曲线上某点处切线的斜率”.
教学评价
本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.
【设计意图】
通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.
应用所学知识,完成下面各题:
1.求函数在附近的平均变化率,取都为,哪一点附近平均变化率最大?
解析:直接代入公式计算平均变化率,比较大小即可.
在附近的平均变化率为;
在附近的平均变化率为;
在附近的平均变化率为.
若,则.
由于在附近的平均变化率最大.
2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量、与时间(天)的关系如图所示,则一定有( )

A.比节能效果好.
B.的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大.
C.两学校节能效果一样好.
D.与自节能以来用电量总是一样大.
解析:由图象可知,对任意的,曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”,所以,比节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,,则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小,B选项错误;由于曲线和曲线不重合,D选项错误.
答案:
3.已知,若,则的值等于( )
A. B. C. D.
解析:本题只需根据导数的定义可得,
因此,则.
答案:
4.曲线在点处的切线方程是________.
解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为,切点为,所以斜率,所以切线方程为,即.
答案:
【分析计算能力】
根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.
【综合问题解决能力】
学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.
教学反思
本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.
【以学定教】
启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.
【以学论教】
通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.