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- 4.2.2 等差数列的前n项和(导与练)-2024-2025学年高二数学同步精品导与练(人教A版选择性必修第二册) 试卷 0 次下载
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人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念精品练习
展开1(2023·北京)已知数列满足,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵数列满足,,
∴,,,
故选:D.
2.(2023春·辽宁铁岭 )已知数列,则该数列的第2024项为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】该数列的通项公式为,所以.
故选:D.
3.(2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习)下面图形由小正方形组成,请观察图①至图④的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,,,,,,,,
等式两边同时累加得,即,也符合该式,
所以第个图形中小正方形的个数是.故选:C
4.(2023春·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习)数列,3,,15,的一个通项公式可以是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】数列各项正、负交替,故可用来调节,
又,
所以通项公式为
故选:A.
5.(2023春·四川眉山)图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A.;nB.;
C.;nD.;
【答案】D
【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为,面积和为2,
第二代“勾股数”中正方形的个数为,面积和为3,
第三代“勾股数”中正方形的个数为,面积和为4,
…
第n代“勾股数”中正方形的个数为,面积和为,
故选:D
6.(2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习)数列的通项公式为,那么“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时,,
数列为递增数列,充分性成立;
当数列为递增数列时,,
恒成立,又,
,必要性不成立;
“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选:A.
7.(2023春·上海浦东新)已知数列的通项公式为,且为递增数列,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵数列的通项公式为,数列是递增数列,
∴,恒成立
即,恒成立,而随n的增大而增大,
即当时,取得最小值2,则,
所以实数 的取值范围是 ,
故选:B.
8.(2023·河南安阳)将正整数排成下表:
则在表中数字2021出现在( )
A.第44行第77列B.第45行第82列
C.第45行第85列D.第45行第88列
【答案】C
【解析】因为每行的最后一个数分别为1,4,9,16,…,
所以可归纳出第行的最后一个数为,
又因为,,
所以2021在第45行,且第45行最后一个数为2025,
又因为第1行有1个数,第2行有3个数,第3行有5个数,第4行有7个数,…,
由此可归纳出第行有个数为,
所以第45行共有89个数,
又因为最后一个数是2025,第89个数是2025,
所以第88个数是2024,第87个数是2023,第86个数是2022,第85个数是2021.
故选:C.
多选题(每道题目至少有两个选项为正确答案,每题5分,4题共20分)
9.(2023秋·高二课时练习)下列说法正确的是( )
A.数列可以用图象来表示
B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
【答案】ABD
【解析】对于A,由数列定义知,数列是以项数为自变量,项为因变量的特殊函数,故可以用图象来表示,A正确;
对于B,若数列有通项公式,则该数列的通项公式不一定唯一,
例如:数列的通项公式可以为,
也可以为,B正确;
对于C,数列中的项可以相等,如常数列,C不正确;
对于D,由数列是特殊的函数且知,数列可以用一群孤立的点表示,D正确.
故选:ABD
10.(2022秋·福建宁德·高二统考期中)已知数列,则下列说法正确的是( )
A.此数列的通项公式是B.是它的第项
C.此数列的通项公式是D.是它的第项
【答案】AB
【解析】数列,即,
则此数列的通项公式为,A正确,C错,令,解得,故B正确,D错.
故选:AB
11.(2023·湖北)数列满是,则( )
A.数列的最大项为B.数列的最大项为
C.数列的最小项为D.数列的最小项为
【答案】BD
【解析】因为,所以,
由,得到,且易知,时,,当时,,
所以
所以数列的最大项为,最小项为,
故选:BD.
12.(2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则( )
A.数列第16项为144B.数列第16项为128
C.200是数列第20项D.200不是数列中的项
【答案】BC
【解析】数项分别为2,8,18,32,50,即,,,,,
即偶数项对应的通项公式为,则数列的第16项为第8个偶数
即,故选:BC.
填空题(每题5分,4题共20分)
13.(2023·福建宁德)在数列中,,则数列的最大项是第 项.
【答案】4
【解析】,当时,取得最大值.故答案为:4
14.(2023·北京)已知数列的前n项和,则 .
【答案】
【解析】当时,,
当时,,
不满足上式.故.
故答案为:.
15.(2023·湖南)公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第8项对应的六边形数为 .
【答案】120
【解析】由题意,从第二个图形开始,把最外面六边形右侧两条边延长构成一个新的六边形,
新六边形每条边上的点数比原来多一个,
因此我们有:, ,,
,,
,,
.
故答案为:120.
16.(2023春·江西南昌 )已知数列满足,若对于任意的都有成立,则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据题意,数列满足成立,则数列为递增数列,
又由数列满足,则有,解可得:,
即a的取值范围是;故答案为:.
解答题(17题10分,18-22题每题12分,6题共70分)
17.(2023秋·高二课时练习)根据规律写出数列的通项
(1);
(2);
(3)
(4);
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】(1)解:,,,,,
归纳猜想得.
(2)解:,,,,。
归纳猜想得.
(3)解:,,,,
,,,
归纳猜想得.
(4)解:,,,,,
归纳猜想得.
(5)解:,,,,,
归纳猜想得.
18.(2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中)已知数列.
(1)这个数列的第4项是多少?
(2)150是不是这个数列的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由;
(3)该数列从第几项开始各项都是正数?
【答案】(1);(2)是,第16项;(3)第7项.
【解析】(1);
(2)令,即,
即,解得或(舍去),
故150是这个数列的项,为第16项;
(3)令,,解得或,
因为n为正整数,所以从第7项开始都为正数.
19.(2023秋·湖北襄阳)已知数列的通项公式为.
(1)判断数列的单调性,并证明你的结论;
(2)若数列中存在的项,求的值.
【答案】(1)是递减数列,证明见解析
(2)
【解析】(1)因为,故数列是递减数列,
证明:数列中,,则,
所以,故数列是递减数列;
(2)若,即,变形可得,解得:或(舍去),故.
20.(2023秋·高二课时练习)已知无穷数列,,,…,,….
(1)求这个数列的第10项和第31项.
(2)是不是这个数列中的项?如果是,是第几项?
(3)证明:不是这个数列中的项.
【答案】(1),
(2)是这个数列中的第项
(3)证明见解析
【解析】(1)因为无穷数列,,,…,,…,
所以该数列的通项公式为,
则,.
(2)因为,
将代入,得,解得或(舍去),
所以是这个数列中的第项.
(3)因为,
将代入,得,即,解得(负值舍去),
又,故也不满足题意,
所以不是这个数列中的项.
21(2023·北京昌平)在数列中,若,且,
则称为“数列”.设为“数列”,记的前项和为.
(1)若,求,,的值;
(2)若,求的值;
(3)证明:中总有一项为1或3.
【答案】(1),,
(2)
(3)证明见解析
【解析】(1)当时,中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,,
即数列从第四项开始每三项是一个周期,
所以,,
,,,
所以.
(2)①若是奇数,则是偶数,,
由,得,解得,适合题意.
②若是偶数,不妨设,则.
若是偶数,则,由,
得,此方程无整数解;
若是奇数,则,由,
得,此方程无整数解.
综上,.
(3)证明:首先证明:一定存在某个,使得成立.
否则,对每一个,都有,
则在为奇数时,必有;
在为偶数时,有,或.
因此,若对每一个,都有,则,,,单调递减,
注意到,显然这一过程不可能无限进行下去,
所以必定存在某个,使得成立.
经检验,当,或,或时,中出现1;
当时,中出现3,
综上,中总有一项为1或3.
22.(2023·江苏)数列满足,.
(1)求数列是单调递减数列的充分必要条件;
(2)求c的取值范围,使得数列是单调递增数列.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】本题的递推关系式对应的背景为二次函数,对称轴为.
(1)当时,由于初始值即为,故,为常数列;
当时,由图4的迭代过程可知数列是单调递减数列不成立;
当时,由图5的迭代过程可知函数图像上点始终往负方向迭代,因而数列是单调递减数列.
(2)由第(1)问可知,若要让数列是单调递增数列,由图4和图5的分析显然需满足.若二次函数的顶点在的上方,如图4所示,由条件①设的两根为、,由,取,而此时,则不满足条件②,从而数列是单调递增数列不成立.因此,二次函数的顶点需落在的下方,如图6所示,此时由函数迭代图像得,且趋向于q,即,从而可得到.
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