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数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直背景图ppt课件
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这是一份数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直背景图ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了导入新课，精彩课堂，课堂练习，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
8.6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与平面垂直的判定
问题1 在日常生活中,旗杆与地面、桥桩与水面、门轴与地面都呈现了什么样的位置关系呢?你们还能举出其他类似的例子吗?
1.直线与平面垂直的概念问题2 直立于地面的旗杆与它在地面上的影子是否保持垂直?假设旗杆与地面的交点为点B.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,它们的位置关系如何? 旗杆所在的直线与地面上任意一条过B点的直线垂直. 那么旗杆所在的直线与地面上不过B点的直线的位置关系如何?依据是什么?垂直,依据是异面直线垂直的定义. 也就是说,旗杆所在的直线与地面上任意一条直线都垂直.
直线与平面互相垂直的定义 文字语言:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α. 图形语言: 符号语言:∀a⊂α,l⊥a⇒l⊥α. 若l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
能否将 “任意一条直线”改为“无数条直线”?
问题3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 为什么只有一条?你能证明吗?
如果直接证明不易证,可以尝试用反证法证明.
2.点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 在锥体的体积公式中,锥体的高指的是什么? 在锥体的体积公式中,锥体的高就是锥体的顶点到底面的距离.
3.直线与平面垂直的判定定理问题4 用定义来判断线面垂直方便吗?证明直线与平面垂直时,能否将无限证明转化为有限证明? (1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直,那么该直线与此平面是否垂直?(2)如果一条直线与平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面是否垂直? (3)如果一条直线与平面内的无数条直线垂直, 那么该直线与此平面是否垂直?
实验探究 如图,准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?
当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面α垂直. 此时AD垂直于桌面上的一条直线还是两条直线? AD垂直于桌面上的两条直线,而且这两条直线相交. 怎么证明?
折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.事实上,由基本事实的推论2,平面α可以看成是由两条相交直线BD,BC所唯一确定的,所以当直线AD垂直于这两条直线时,就能保证直线AD与平面α内所有直线都垂直.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直时,这条直线就和这个平面垂直? 由基本事实的推论2可知,两条相交直线可以确定一个平面,并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线,因此,一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直时,这条直线就垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直,而不是“两条平行直线”或“无数条直线”呢?
利用手中的笔、纸举出反例说明.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 你能从向量的角度验证直线与平面垂直的判定定理吗? 由平面向量基本定理可知,这两条相交直线可以“表示” 这个平面内的所有直线.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言: 符号语言:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α. 这个定理体现了线线垂直和线面垂直的互相转化.即:
你能用图形语言和符号语言分别表示直线与平面垂直的判定定理吗?
你能根据条件与结论画出示意图,并写出已知、 求证吗? 根据直线与平面垂直的判定定理知,只需证明直线b垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中,需要构造出平面内的两条相交直线,再利用“两条平行直线中的一条垂直于某一直线,则另一条也垂直于这一条直线”进行转化.
结合所画的图形,证明此问题的思路是什么?还有其他方法吗?
这也是以后我们证明线面垂直的另一种方法.你能用符号语言表示这一结论吗?
4.直线和平面所成的角问题5 (1)当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线.如果直线和平面不垂直,如何给它命名?(2)我们用异面直线所成的角来刻画空间中异面直线的位置关系,又该如何刻画直线和平面的这种位置关系呢?
如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°; 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°. 结合上面我们学习的直线和平面所成的角的定义,你认为直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? θ∈[0°,90°]
求直线A1B和平面A1DCB1所成的角,关键是找直线A1B在平面A1DCB1上的射影.如何找射影?
求直线和平面所成的角的一般步骤:(1)构造:作垂线→作射影→作平面角.(2)证明:证明某平面角就是直线和平面所成的角(关键是证垂直).(3)计算:求角,通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.(4)下结论.
本节课所学的主要内容及方法:
8.6.2 直线与平面垂直第1课时 直线与平面垂直的判定
问题1 在日常生活中,旗杆与地面、桥桩与水面、门轴与地面都呈现了什么样的位置关系呢?你们还能举出其他类似的例子吗?
1.直线与平面垂直的概念问题2 直立于地面的旗杆与它在地面上的影子是否保持垂直?假设旗杆与地面的交点为点B.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,它们的位置关系如何? 旗杆所在的直线与地面上任意一条过B点的直线垂直. 那么旗杆所在的直线与地面上不过B点的直线的位置关系如何?依据是什么?垂直,依据是异面直线垂直的定义. 也就是说,旗杆所在的直线与地面上任意一条直线都垂直.
直线与平面互相垂直的定义 文字语言:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α. 图形语言: 符号语言:∀a⊂α,l⊥a⇒l⊥α. 若l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
能否将 “任意一条直线”改为“无数条直线”?
问题3 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 为什么只有一条?你能证明吗?
如果直接证明不易证,可以尝试用反证法证明.
2.点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 在锥体的体积公式中,锥体的高指的是什么? 在锥体的体积公式中,锥体的高就是锥体的顶点到底面的距离.
3.直线与平面垂直的判定定理问题4 用定义来判断线面垂直方便吗?证明直线与平面垂直时,能否将无限证明转化为有限证明? (1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直,那么该直线与此平面是否垂直?(2)如果一条直线与平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面是否垂直? (3)如果一条直线与平面内的无数条直线垂直, 那么该直线与此平面是否垂直?
实验探究 如图,准备一块三角形的纸片ABC,过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)折痕AD与桌面垂直吗?(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么?
当且仅当折痕AD是BC边上的高时,AD所在直线与桌面所在平面α垂直. 此时AD垂直于桌面上的一条直线还是两条直线? AD垂直于桌面上的两条直线,而且这两条直线相交. 怎么证明?
折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD.事实上,由基本事实的推论2,平面α可以看成是由两条相交直线BD,BC所唯一确定的,所以当直线AD垂直于这两条直线时,就能保证直线AD与平面α内所有直线都垂直.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直时,这条直线就和这个平面垂直? 由基本事实的推论2可知,两条相交直线可以确定一个平面,并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线,因此,一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直时,这条直线就垂直于这个平面.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直,而不是“两条平行直线”或“无数条直线”呢?
利用手中的笔、纸举出反例说明.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 你能从向量的角度验证直线与平面垂直的判定定理吗? 由平面向量基本定理可知,这两条相交直线可以“表示” 这个平面内的所有直线.
直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直. 图形语言: 符号语言:a⊂α,b⊂α,a∩b=A,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α. 这个定理体现了线线垂直和线面垂直的互相转化.即:
你能用图形语言和符号语言分别表示直线与平面垂直的判定定理吗?
你能根据条件与结论画出示意图,并写出已知、 求证吗? 根据直线与平面垂直的判定定理知,只需证明直线b垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中,需要构造出平面内的两条相交直线,再利用“两条平行直线中的一条垂直于某一直线,则另一条也垂直于这一条直线”进行转化.
结合所画的图形,证明此问题的思路是什么?还有其他方法吗?
这也是以后我们证明线面垂直的另一种方法.你能用符号语言表示这一结论吗?
4.直线和平面所成的角问题5 (1)当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线.如果直线和平面不垂直,如何给它命名?(2)我们用异面直线所成的角来刻画空间中异面直线的位置关系,又该如何刻画直线和平面的这种位置关系呢?
如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°; 一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°. 结合上面我们学习的直线和平面所成的角的定义,你认为直线与平面所成的角θ的取值范围是什么? θ∈[0°,90°]
求直线A1B和平面A1DCB1所成的角,关键是找直线A1B在平面A1DCB1上的射影.如何找射影?
求直线和平面所成的角的一般步骤:(1)构造:作垂线→作射影→作平面角.(2)证明:证明某平面角就是直线和平面所成的角(关键是证垂直).(3)计算:求角,通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算.(4)下结论.
本节课所学的主要内容及方法:
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