北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质课后复习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质课后复习题，共8页。
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1
B.eq \f(x2,4)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,4)＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
3．已知a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．3或eq \f(1,3) D.eq \r(3)
4．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是( )
A．9x2＋y2＝36 B．3x2＋4y2＝48
C．x2＋9y2＝36 D．5x2＋3y2＝30
5．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为________ cm.( )
A．30 B．20
C．10 D．10eq \r(3)
6．[多选题]已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率可以是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
7．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
8．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点P(3,0)，且长轴长是短轴长的eq \r(3)倍，则其标准方程为________．
9．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足02(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2
C．e1＝eq \f(e2＋1,2) D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
13．如图，把椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝________.
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
15．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
(1)若|PF1|＝2＋eq \r(2)，|PF2|＝2－eq \r(2)，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
[培优生]
16．[多选题]已知P是椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是( )
A．P点纵坐标为3
B．∠F1PF2>eq \f(π,2)
C．△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1)
D．△F1PF2的内切圆半径为eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)
课时作业(十四)
1．解析：椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2，故选B.
答案：B
2．解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq \f(\r(3),2)，
∴c＝eq \r(3)，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.
若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
∴a2＝4b2＝16，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
3．解析：x2＋a2y2＝2a可变为eq \f(x2,2a)＋eq \f(y2,\f(2,a))＝1，a>0，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a>\f(2,a),2a＝9×\f(2,a)))，解得a＝3，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)>2a,\f(2,a)＝9×2a))解得a＝eq \f(1,3)，
故a＝3或a＝eq \f(1,3)
故选C.
答案：C
4．解析：A.由9x2＋y2＝36，得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,36)＝1，a2＝36，b2＝4，c2＝32，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(32),6)＝eq \f(2\r(2),3)；B.3x2＋4y2＝48，得eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，a2＝16，b2＝12，c2＝4，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)；C.x2＋9y2＝36，得eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,4)＝1，a2＝36，b2＝4，c2＝32，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(32),6)＝eq \f(2\r(2),3)；D.5x2＋3y2＝30，得eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,10)＝1，a2＝10，b2＝6，c2＝4，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(10))＝eq \f(\r(10),5)，
因为eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(\r(800),30)>eq \f(\r(10),5)＝eq \f(\r(360),30)>eq \f(1,2)＝eq \f(\r(225),30)，所以3x2＋4y2＝48更接近于圆．
故选B.
答案：B
5．解析：由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为20eq \r(3)cm，故离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，
所以小椭圆离心率为e＝eq \f(\r(3),2)，
小椭圆的短轴长为10cm，即2b＝10cm，
由e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，可得：a＝10cm，
所以长轴为20cm.
故选B.
答案：B
6．解析：由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝3|PF2|，
所以|PF1|＝eq \f(3a,2)，|PF2|＝eq \f(a,2)，
①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，
|PF1|－|PF2|b>0)，
∴eq \f(9,a2)＋eq \f(0,b2)＝1，∴a2＝9，又a＝eq \r(3)b，∴b2＝3.
所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆方程为eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a>b>0)
∴eq \f(32,b2)＋eq \f(02,a2)＝1，∴b2＝9
又a＝eq \r(3)b，∴a2＝27
所以椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,27)＝1.
综上，椭圆方程为：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,27)＝1.
答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,27)＝1
9．解析：由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(1,a2)得0e2.
∴椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，D错误．故选ABC.
答案：ABC
13．解析：设F1是椭圆的另一个焦点，则根据椭圆的对称性，知|P1F|＋|P7F|＝|P1F|＋|P1F1|＝2a，
同理，|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2a.
又|P4F|＝a，
∴|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a＝35.
答案：35
14．解析：如图所示，
e＝eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(PF1,PF2)＝eq \f(2a－PF2,PF2)＝eq \f(2a,PF2)－1，
∵|PF2|eq \f(2a,a＋c)－1，即e>eq \f(2,1＋e)－1，
∴e2＋2e－1>0.
又∵00，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)×2c×n＝3
∴n＝eq \f(3,2)，故A错；
∴eq \f(m2,8)＋eq \f(（\f(3,2)）2,4)＝1，得m＝eq \f(\r(14),2)，∴P(eq \f(\r(14),2)，eq \f(3,2))，
∴|PF1|2＝(eq \f(\r(14),2)＋2)2＋eq \f(9,4)＝eq \f(39,4)＋2eq \r(14)，
|PF2|2＝(eq \f(\r(14),2)－2)2＋eq \f(9,4)＝eq \f(39,4)－2eq \r(14)
∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝eq \f(39,4)×2－16＝eq \f(7,2)>0，
∴cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－（2c）2,2|PF1|·|PF2|)>0，
∴∠F1PF2