数学选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质测试题

这是一份数学选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质测试题，共21页。试卷主要包含了设椭圆的左，已知椭圆的左，直线交椭圆于，两点，，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
【精编】1.2 椭圆的简单几何性质作业练习一．填空题1．设椭圆的左．右顶点分别为，，是椭圆上不同于，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当取得最小值时，椭圆的离心率是______.2．已知椭圆的左．右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.3．在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线交椭圆C于A，B两点，且的周长为8，那么C的方程为__________．4．直线交椭圆于，两点，．是椭圆的右焦点，若，则________．5．设椭圆右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，焦距为，，且，则椭圆的方程为___________.6．“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕？着陆？巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为___________.(精确到0. 1)7．已知椭圆：的左．右焦点分别为，，若椭圆上存在点使三角形的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是______．8．若实数，满足方程，则的取值范围为________．9．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.10．已知是椭圆的左右顶点，是的右焦点，点在上且满足（为坐标原点），其中在直线上，若线段的中点在直线上，则椭圆的离心率为___________11．已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为__________.12．已知点为椭圆的左顶点，为椭圆的右焦点，，在椭圆上，四边形为平行四边形(为坐标原点)，点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为___________.13．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.14．已知点，点B是圆上的动点，线段AB的垂直平分线交线段BC于点P，则动点P的轨迹方程是________.15．已知点分别为椭圆的左，右焦点，点为的左顶点，上的点到点的最小距离为.过原点的直线交于，两点，直线交于点，且，则椭圆的标准方程为___________.16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________．17．在平面直角坐标系中，，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为________.18．已知椭圆，F为其左焦点，过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，点A在第二象限，且∠FAB＝∠BFO，则直线l的斜率为_____．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：设出的坐标,得到(用,表示)，求出，令，则，利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．详解：解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时， 函数取得最小值． ．，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质．关键利用导数研究函数的单调性极值与最值．2．【答案】【解析】分析：运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．详解：解：设的内切圆与相切于D，E，F，设，则，由椭圆的定义，可得，，即有，即有：，即，再由，故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．3．【答案】【解析】分析：结合椭圆的定义可得，再结合离心率可求出的值，从而求出，可写出椭圆方程.详解：解：由椭圆的定义可知：的周长为，所以，解得；因为离心率为，所以，则所以椭圆的方程为：.故答案为：.【点睛】结论点睛：过焦点的三角形和椭圆交于两点，则两点与另一焦点连线与线段构成的三角形的周长为.4．【答案】【解析】分析：根据对角线互相平分得到四边形为平行四边形，又得到四边形为矩形，从而求得,,的长，接着由勾股定理及椭圆的定义求解即可.详解：如图，连接 , ,因为,,所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以,则,又直线可知,则,根据勾股定理可知：，由椭圆定义可知：，所以.故答案为：.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理．余弦定理．|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．5．【答案】【解析】分析：由题设条件结合椭圆定义及对称性求出椭圆C在点P或Q处的两条焦半径，再由直角三角形建立方程求解而得.详解：设椭圆的左焦点为，则由椭圆的对称性可知，，又，解得，由，得，由勾股定理可得，即，解得，而，则，因此，椭圆的标准方程为.答案为：6．【答案】0.6.【解析】分析：根据题中的信息列出关于的方程，然后解方程并求离心率即可.详解：设椭圆的方程为()，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，最大值为，根据题意可得近火点满足，，解得，，所以椭圆的离心率为，故答案为：0.6.7．【答案】【解析】分析：设则，可得，再结合即可求得范围.详解：设，，，则，若存在点使三角形的面积为，则，可得，因为，所以，即，可得，整理可得：，所以，解得：，所以，所以椭圆的离心率的取值范围是：，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是，设利用焦点三角形的面积公式表示出.8．【答案】【解析】分析：由已知条件得出点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，再由两点的距离公式得出表示点到点的距离之和，再根据椭圆的定义将问题转化为求的范围，根据两点的距离公式可求得范围．详解：设点，则由椭圆的定义得点P在以为焦点，以为长轴长的椭圆上，所在椭圆的方程为：，而表示点到点的距离之和，即，由椭圆的定义得，所以，所以，而，又，所以，所以的取值范围为，故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查根式的最值和范围求解问题，解决的关键在于利用椭圆的定义得出动点的轨迹，将问题转化为求两线段的距离之差的范围．9．【答案】【解析】分析：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.详解：解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，所以，又，解得所以截口所在椭圆的离心率为故答案为：【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．10．【答案】【解析】分析：不妨设点在第一象限，求得，，进而得到的直线方程，求得，再根据和相似，得到，得出，即可求解.详解：由题意知，椭圆的左右顶点，是的右焦点，不妨设点在第一象限，令，解得，故，所以，又因为过点的直线方程为  ，令，解得，所以，因为和相似，所以，所以，整理得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．11．【答案】【解析】分析：根据题意求出，再利用椭圆的定义求解.详解：由题得，由题得的周长为.故答案为：10【点睛】方法点睛：圆锥曲线的问题，看到焦半径，要联想到该曲线的定义，利用曲线的定义求解.12．【答案】【解析】分析：根据椭圆的对称性先求出点的坐标，从而求出直线的方程，根据点到直线的距离建立方程，从而求出离心率.详解：由四边形为平行四边形，则,且不妨设，在轴上方，点在第一象限.由椭圆的对称性可得，则所以，则所以直线的方程为：，即所以点到直线的距离为：化简得，即解得 ，所以取故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的离心率，解答本题的关键是根据托奥运的对称性得出，然后得出直线的方程，根据点到直线的距离得方程，属于中档题.13．【答案】【解析】分析：设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.详解：解：由已知，的三边长，，成等差数列，设，，，而，根据勾股定理有：，解得：，由椭圆定义知：的周长为，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴离心率.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.14．【答案】【解析】分析：连接，根据题意可知，可得，利用椭圆的定义判断点的轨迹，是以为焦点的椭圆，求出的值，即得椭圆的方程.详解：由题得，圆心，半径等于，连接，则，，故点的轨迹是：以为焦点的椭圆，，即，，又点在轴上，动点P的轨迹方程是.故答案为：【点睛】本题考查由椭圆的定义求动点的轨迹方程，是常考题型. 15．【答案】【解析】分析：根据题意作出示意图，根据均为中点可知为的中位线，由此可根据得到的一个关系式，再根据椭圆上的点到的最小距离得到的另一个关系式，由此求解出的值，则椭圆方程可求.详解：如图，连接，，因为为的中点，所以是的中位线，所以，所以，即，所以，又上的点到点的最小距离为，则，解得，，所以.故椭圆的标准方程为，故答案为：.【点睛】结论点睛：椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值：（1）最大值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点两侧；（2）最小值：，此时为长轴的端点且与在坐标原点同侧.(可利用点到点的距离公式结合椭圆方程进行证明)16．【答案】【解析】分析：利用球与圆锥相切，得出截面，在平面图形中求解，以及圆锥曲线的来源来理解切点为椭圆的一个焦点，求出，得出离心率.详解：切于,切于E，，球半径为2，所以，，，中，，，故,,根据椭圆在圆锥中截面与二球相切的切点为椭圆的焦点知：球O与相切的切点为椭圆的一个焦点，且，,c=4，椭圆的离心率为.故答案为：【点睛】本题要求有一定的空间图形辨别能力，能从整体上认识图形，并且对圆锥曲线的来源有一定的认识，借助平面图形来求解.17．【答案】【解析】分析：先分析出，得到，消去b，整理出a．c的齐次式，求出离心率的范围.详解：由落在椭圆上，则.又得：∴由得：，即，解得：又，∴故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a．b．c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．18．【答案】【解析】分析：先设点A的坐标，再把需要的直线的斜率表示出，利用角相等解出点的坐标，从而求出斜率．详解：设，则，，且，∵F为其左焦点，∴，，直线AB的斜率．经分析直线AF的斜率必存在，设为，则，又，∴，∴，又，，可解得：，，∴直线l的斜率为．故答案为：．【点睛】本题考查了直线方程与椭圆的综合应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.