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北师大版高中数学选择性必修第一册椭圆的简单几何性质学案含解析
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专题02 椭圆的简单几何性质
要点 椭圆的简单几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率
【方法技巧】
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．
(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形．
明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．
(3)计算离心率常见形式，e ＝＝.
【答疑解惑】
你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？
【提示】可用椭圆的离心率与椭圆的特征三角形的关系解释．如图，在Rt△OB2F2中，sin ∠OB2F2的值即椭圆的离心率，即e＝sin ∠OB2F2.可以看出：
e＝越大，在Rt△OF2B2中，sin ∠OB2F2＝越大，则∠OB2F2越大，椭圆越扁平；
e＝越小，sin ∠OB2F2＝越小，则∠OB2F2越小，椭圆越接近于圆．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＋＝1的离心率e＝.( )
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(0，±)．( )
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【答案】D
【解析】椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6
【答案】＋＝1.
【解析】由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.
题型一 根据椭圆方程研究其几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
【答案】B
【解析】把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，＝0.8.
2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
【解析】椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0
【方法技巧】
长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
题型二 根据椭圆几何性质求其标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【方法技巧】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e ＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【变式训练】
1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】B
【解析】由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
【答案】＋＝1
【解析】由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
【答案】(3)＋＝1或＋＝1
【解析】(3)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
题型三 椭圆的离心率问题
探究1 定义法求椭圆的离心率
【例2】椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
【答案】－1
【解析】如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，得A，
∵点A在椭圆上，∴有＋＝1 ①，在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1
探究2 构造齐次方程
【例3】设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
解法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
探究3 求椭圆离心率的取值范围
【例4】若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．
【分析】
方法一：由∠F1MF2＝90 °联想到·＝0，结合椭圆方程求出点M的横坐标，利用该坐标的范围构造关于e的不等式求解；
方法二：设点M的坐标是(x0，y0)，由已知可知，该点既在椭圆上也在圆x＋y＝c2上，从而可求出x的范围，再利用x的范围构造关于e的不等式求解．
【解析】解法一：设M(x0，y0)，则|x0|
∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x＋y＝c2.
又∵点M(x0，y0)在椭圆上，∴y＝b2－x，
∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥.
又0
因为0≤x
又0
【方法技巧】
求椭圆离心率及范围的两种方法
1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝求解．
2．方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
【变式训练】
1.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得×2c×b＝×(2a＋2c)×得，a＝2c，即e＝＝，故选C.
2.设F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．（0， ] B．(0，] C.[，1) D.[，1)
【答案】D
【解析】由垂直平分线的性质知|F1F2|＝|PF2|，设直线x＝与x轴的交点为M，则|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0
【答案】
【解析】不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，
可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝＝＝.
易错辨析 忽视隐含条件致错
【例5】若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
【答案】[1,5)∪(5，＋∞)
【解析】由于直线y＝kx＋1过定点(0,1)，故点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞).
注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况.
1．（2021·山西高二月考）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
【答案】A
【解析】依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
2．(多选)（2021山东省潍坊一中高二月考）已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25 B．b2＝9
C．a2＝21 D．b2＝16
【答案】AB
【解析】因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
3． (多选)（2021山东省淄博市实验中学高二期中考试）已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为( )
A．4 B.
C．6 D.
【答案】AB
【解析】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
4．（2021·陕西西安市·长安一中高二期末（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为正三角形，所以，取线段的中点，连结，则，所以，得，
所以椭圆的离心率，故选：A.
5.（2021·江苏淮阴区·淮安田家炳中学高二期中）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由题意，解得，
∴椭圆方程为或故选：A．
6.（2021·珠海市第二中学高二期中）已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【解析】∵①为奇函数，作出其图象，
由图可知能等分该椭圆面积；
同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；
③为偶函数，其图象关于轴对称，
在轴右侧时，，
时，故不能等分该椭圆面积.故选：B
7．（2021·上海市向明中学高二月考）若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
【答案】
【解析】∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.
8．（2021·寿县第一中学高二）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
【答案】＋＝1
【解析】∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
9．（2021·南昌市铁路第一中学高二期中）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.
(1)求这个椭圆的离心率；
(2)求这个椭圆的标准方程．
【解析】由题意知2a＋2b＝18，且2c＝6.
又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.
(1)离心率e＝＝.
(2)椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．（2021·黑龙江大庆实验中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
【解析】设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
11.（2021·湖北武汉市·高二期中）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是[a-c，a+c]
B．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】AD
【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，不正确；
，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.
故选：.
12．（2021·长沙铁路第一中学高二月考）已知椭圆的离心率，，是椭圆的左､右顶点，点是椭圆上不同于､的一点，直线､的倾斜角分别为､，则=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由已知，，
则，
，
因为椭圆的离心率，
，，，
，，
，
.故选：D.
13. （2021·上海交大附中高二期中考试）如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．
【答案】8 cm 12 cm
【解析】由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，
则c2＝(4)2－62＝12，
∴c＝2，∴离心率e＝＝.
14．（2021·内蒙古集宁一中高二期末）椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是.
∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0
又∵0
15. （2021·南城县第二中学高二开学考试）如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若·的最大值是12，求椭圆的方程．
【解析】设F(－c,0)．∵e＝＝，∴a＝3c.
设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.
又＝(－c－x0，－y0)，＝(a－x0，－y0)，
∴·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)
＝－ac＋cx0－ax0＋x＋y
＝－ac＋cx0－ax0＋x＋b2－x
＝x－(a－c)x0＋b2－ac
＝x－(a－c)x0＋a2－c2－ac
＝x－2cx0＋5c2
＝(x0－9c)2－4c2.
∴当x0＝－3c时，·有最大值，最大值为12c2＝12.
∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
要点 椭圆的简单几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率
【方法技巧】
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．
(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形．
明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．
(3)计算离心率常见形式，e ＝＝.
【答疑解惑】
你能运用三角函数的知识解释，为什么e＝越大，椭圆越扁平？e＝越小，椭圆越接近于圆吗？
【提示】可用椭圆的离心率与椭圆的特征三角形的关系解释．如图，在Rt△OB2F2中，sin ∠OB2F2的值即椭圆的离心率，即e＝sin ∠OB2F2.可以看出：
e＝越大，在Rt△OF2B2中，sin ∠OB2F2＝越大，则∠OB2F2越大，椭圆越扁平；
e＝越小，sin ∠OB2F2＝越小，则∠OB2F2越小，椭圆越接近于圆．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＋＝1的离心率e＝.( )
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(0，±)．( )
【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√
2．2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
【答案】D
【解析】椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6
【答案】＋＝1.
【解析】由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.
题型一 根据椭圆方程研究其几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
【答案】B
【解析】把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10,2b＝6，＝0.8.
2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
【解析】椭圆方程可化为＋＝1.
(1)当0
【方法技巧】
长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
题型二 根据椭圆几何性质求其标准方程
【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【方法技巧】
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e ＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
【变式训练】
1.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】B
【解析】由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
【答案】＋＝1
【解析】由2a＝18，得a＝9.又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
【答案】(3)＋＝1或＋＝1
【解析】(3)因为椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
题型三 椭圆的离心率问题
探究1 定义法求椭圆的离心率
【例2】椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
【答案】－1
【解析】如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，得A，
∵点A在椭圆上，∴有＋＝1 ①，在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1
探究2 构造齐次方程
【例3】设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
解法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
探究3 求椭圆离心率的取值范围
【例4】若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．
【分析】
方法一：由∠F1MF2＝90 °联想到·＝0，结合椭圆方程求出点M的横坐标，利用该坐标的范围构造关于e的不等式求解；
方法二：设点M的坐标是(x0，y0)，由已知可知，该点既在椭圆上也在圆x＋y＝c2上，从而可求出x的范围，再利用x的范围构造关于e的不等式求解．
【解析】解法一：设M(x0，y0)，则|x0|
∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴x＋y＝c2.
又∵点M(x0，y0)在椭圆上，∴y＝b2－x，
∴x＋y＝b2＋x∈[b2，a2)，即c2∈[b2，a2)，∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥.
又0
因为0≤x
又0
【方法技巧】
求椭圆离心率及范围的两种方法
1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝求解．
2．方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
【变式训练】
1.焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得×2c×b＝×(2a＋2c)×得，a＝2c，即e＝＝，故选C.
2.设F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．（0， ] B．(0，] C.[，1) D.[，1)
【答案】D
【解析】由垂直平分线的性质知|F1F2|＝|PF2|，设直线x＝与x轴的交点为M，则|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0
【答案】
【解析】不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，
可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝＝＝.
易错辨析 忽视隐含条件致错
【例5】若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
【答案】[1,5)∪(5，＋∞)
【解析】由于直线y＝kx＋1过定点(0,1)，故点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞).
注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况.
1．（2021·山西高二月考）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
【答案】A
【解析】依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.
2．(多选)（2021山东省潍坊一中高二月考）已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25 B．b2＝9
C．a2＝21 D．b2＝16
【答案】AB
【解析】因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
3． (多选)（2021山东省淄博市实验中学高二期中考试）已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为( )
A．4 B.
C．6 D.
【答案】AB
【解析】∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
4．（2021·陕西西安市·长安一中高二期末（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为正三角形，所以，取线段的中点，连结，则，所以，得，
所以椭圆的离心率，故选：A.
5.（2021·江苏淮阴区·淮安田家炳中学高二期中）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】由题意，解得，
∴椭圆方程为或故选：A．
6.（2021·珠海市第二中学高二期中）已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】B
【解析】∵①为奇函数，作出其图象，
由图可知能等分该椭圆面积；
同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；
③为偶函数，其图象关于轴对称，
在轴右侧时，，
时，故不能等分该椭圆面积.故选：B
7．（2021·上海市向明中学高二月考）若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
【答案】
【解析】∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.
8．（2021·寿县第一中学高二）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
【答案】＋＝1
【解析】∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
9．（2021·南昌市铁路第一中学高二期中）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.
(1)求这个椭圆的离心率；
(2)求这个椭圆的标准方程．
【解析】由题意知2a＋2b＝18，且2c＝6.
又a2＝b2＋c2，所以a＝5，b＝4，c＝3.
(1)离心率e＝＝.
(2)椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．（2021·黑龙江大庆实验中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
【解析】设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
11.（2021·湖北武汉市·高二期中）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a、2c，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是[a-c，a+c]
B．卫星在右半椭圆弧的运行时间大于其在左半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【答案】AD
【解析】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；
当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，不正确；
，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.
故选：.
12．（2021·长沙铁路第一中学高二月考）已知椭圆的离心率，，是椭圆的左､右顶点，点是椭圆上不同于､的一点，直线､的倾斜角分别为､，则=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】由已知，，
则，
，
因为椭圆的离心率，
，，，
，，
，
.故选：D.
13. （2021·上海交大附中高二期中考试）如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．
【答案】8 cm 12 cm
【解析】由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8(cm)，
则c2＝(4)2－62＝12，
∴c＝2，∴离心率e＝＝.
14．（2021·内蒙古集宁一中高二期末）椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
【解析】设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是.
∴y2＝ax－x2.①
又P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0
又∵0
15. （2021·南城县第二中学高二开学考试）如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，若·的最大值是12，求椭圆的方程．
【解析】设F(－c,0)．∵e＝＝，∴a＝3c.
设P(x0，y0)，则－3c≤x0≤3c.
又＝(－c－x0，－y0)，＝(a－x0，－y0)，
∴·＝(－c－x0，－y0)·(a－x0，－y0)
＝－ac＋cx0－ax0＋x＋y
＝－ac＋cx0－ax0＋x＋b2－x
＝x－(a－c)x0＋b2－ac
＝x－(a－c)x0＋a2－c2－ac
＝x－2cx0＋5c2
＝(x0－9c)2－4c2.
∴当x0＝－3c时，·有最大值，最大值为12c2＝12.
∴c2＝1，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝8，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
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