高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.1 椭圆课后测评，共7页。
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2B．3a2＝4b2
C．a＝2bD．3a＝4b
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交B．相切
C．相离D．不确定
3．已知a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为( )
A．eq \f(1,3)B．3
C．3或eq \f(1,3)D．eq \r(3)
4．曲线eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k＞0)的( )
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
5．[2022·湖南石门高二期末]已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于A，B两点，则△ABF2是正三角形，则椭圆的离心率是( )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(1,3)
6．[2022·湖南益阳高二月考](多选)若椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是( )
A．m＝2B．C的长轴长为2eq \r(3)
C．C的短轴长为4D．C的离心率为eq \f(1,3)
7．已知焦点在y轴的椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq \f(4,5)，则k的值为________．
8．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且b＝2eq \r(5)的椭圆方程是________．
9．(1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，右焦点为(eq \r(2)，0).求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过(1，eq \f(\r(3),2))，一个焦点为(eq \r(3)，0).求椭圆C的方程.
[提能力]
10．设椭圆C：y2＋eq \f(x2,m2)＝1(0＜m＜1)的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是( )
A．[eq \f(\r(2),2)，1) B．(0，eq \f(\r(2),2)]
C．[eq \f(1,2)，1) D．(0，eq \f(1,2)]
11．[2022·湖南长沙一中高二期中](多选)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的值不可能是( )
A．1B．4
C．7D．10
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使得△F1PF2为直角三角形的点P有8个，则椭圆的离心率的范围是________．
13．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝eq \f(1,3).若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则△PF1F2的周长为________，PF1·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值为________．
14．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点A(2，0)，且离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线y＝x－1与椭圆C相交于P，Q两点，求eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))的值．
[培优生]
15．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是2x＋y－9＝0，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆C的离心率是( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(\r(3),2)
课时作业(二十六) 椭圆的简单几何性质
1．解析：椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2，故选B.
答案：B
2．解析：∵y＝kx－k＋1，∴y－1＝k(x－1)，过定点(1，1)，定点在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内部．
答案：A
3．解析：x2＋a2y2＝2a可变为eq \f(x2,2a)＋eq \f(y2,\f(2,a))＝1，a>0，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a>\f(2,a),2a＝9×\f(2,a)))，解得a＝3，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)>2a,\f(2,a)＝9×2a))解得a＝eq \f(1,3)，
故a＝3或a＝eq \f(1,3)，故选C.
答案：C
4．解析：由方程形式可知，曲线eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)；
将eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k＞0)化简为标准方程为eq \f(x2,16k)＋eq \f(y2,9k)＝1(k＞0)，可知该椭圆的长轴长是8eq \r(k)，短轴长是6eq \r(k)，焦距是2eq \r(7k)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，所以离心率相等．
答案：D
5．解析：∵△ABF2是正三角形，
∴∠AF2B＝60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F2F1是正△ABF2的高，∠AF2F1＝30°，
Rt△AF2F1中，设|AF1|＝m，sin30°＝eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(1,2)，
∴|AF2|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，
因此，椭圆的长轴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m，焦距2c＝eq \r(3)m，
∴椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案：C
6．解析：由已知可得eq \r(m2－m－1)＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)
∴a2＝3，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，c＝1，
∴长轴长为2eq \r(3)，短轴长为2eq \r(2)，离心率为e＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).
答案：AB
7．解析：由题可知，a2＝4＋k，b2＝9，
而c2＝a2－b2，
所以c2＝k－5，
又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5)，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(16,25)，
即：eq \f(k－5,4＋k)＝eq \f(16,25)，解得k＝21.
答案：21
8．解析：椭圆9x2＋4y2＝36，即eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，
∴c＝eq \r(5)，且焦点在y轴上，
∵所求椭圆与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，
∴所求椭圆的半焦距c＝eq \r(5)，又b＝2eq \r(5)，
∴a2＝b2＋c2＝25，
∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1.
答案：eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
9．解析：(1)由右焦点为(eq \r(2)，0)，则c＝eq \r(2)，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，所以a＝eq \r(3)，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1,a2－b2＝3))，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程是eq \f(x2,4)＋y2＝1.
10．解析：椭圆C：y2＋eq \f(x2,m2)＝1(0＜m＜1)的a＝1，b＝m，c＝eq \r(1－m2).
若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，等价于以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，
则有c≥b，即eq \r(1－m2)≥m，解得：0＜m≤eq \f(\r(2),2).
答案：B
11．解析：先证明一个引理：
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)长轴的左右两个端点分别为A，B，P为椭圆上的动点，则当且仅当P为短轴的端点时，∠APB最大．
证明：设P(x0，y0)，半焦距为c，由椭圆的对称性，不妨设y0＞0，x0≥0，
则kPA＝eq \f(y0,x0＋a)，kPB＝eq \f(y0,x0－a)，
故tan∠APB＝eq \f(\f(y0,x0－a)－\f(y0,x0＋a),1＋\f(y0,x0－a)×\f(y0,x0＋a))＝eq \f(2ay0,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －a2)＝eq \f(2ay0,a2（1－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)）＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －a2)＝－eq \f(2ab2,c2y0)，
此时tan∠APB＜0，故∠APB为钝角，
又当且仅当y0最大时即P为短轴的上顶点时，tan∠APB最大，即∠APB最大．
对于椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1，
当0＜m＜3时，此时焦点在x轴上，设上顶点为M，则∠AMB≥120°，
所以eq \f(\r(m),\r(3))≤eq \f(\r(3),3)，即0＜m≤1.
当m＞3时，此时焦点在y轴上，设右顶点为N，则∠ANB≥120°，
所以eq \f(\r(m),\r(3))≥eq \r(3)，即m≥9.
故BC不符合．
答案：BC
12．解析：由椭圆的对称性，∠PF1F2、∠PF2F1为直角，共有4个位置，∠F1PF2为直角，共有4个位置，于是以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点．又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，b＝c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(2)c)＝eq \f(\r(2),2)，于是，若要满足题意，e∈(eq \f(\r(2),2)，1).
答案：(eq \f(\r(2),2)，1)
13．解析：因为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,8)＝1的离心率e＝eq \f(1,3)，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，又b2＝8，即b＝2eq \r(2)，所以a＝3，c＝1.
所以eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，F1(－1，0)，A(3，0)，△PF1F2的周长＝2a＋2c＝8，
设椭圆上的一点P(x，y)，且－3≤x≤3，则PF1·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(3－x，－y)＝eq \f(1,9)(x－9)2－4，
所以当x＝－3时，PF1·eq \(PA,\s\up6(→))取得最大值12.
答案：8 12
14．解析：(1)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)经过点A(2，0)，所以a＝2，
因为离心率为eq \f(\r(3),2)＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2)，所以c＝eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1,y＝x－1))得5x2－8x＝0，解得x1＝eq \f(8,5)，x2＝0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(8,5),y1＝\f(8,5)－1＝\f(3,5)))，或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝0,y2＝0－1＝－1))，
可得P(eq \f(8,5)，eq \f(3,5))，Q(0，－1)，或者Q(eq \f(8,5)，eq \f(3,5))，P(0，－1)，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝(eq \f(8,5)－2，eq \f(3,5))·(0－2，－1)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)＝eq \f(1,5).
15．解析：设交点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,a2)＋\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,b2)＝1))，
∴两式作差得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，而M(4，1)是交点的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，结合已知直线方程，有eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(4b2,a2)＝－2，又b2＝a2－c2，
∴1－(eq \f(c,a))2＝1－e2＝eq \f(1,2)，可得e＝eq \f(\r(2),2).
答案：B