北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质学案，共10页。

要点 椭圆的简单几何性质
状元随笔
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．
(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形．
明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．
(3)计算离心率常见形式，e ＝＝.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
(3)椭圆＝1的离心率e＝.( )
(4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．( )
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．已知椭圆＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )
A．8 B．7 C．5 D．4
4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．
题型一 根据椭圆方程研究其几何性质
例1 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
方法归纳
在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合．
跟踪训练1 (1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5、3、0.8 B．10、6、0.8
C．5、3、0.6 D．10、6、0.6
(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．
题型二 根据椭圆几何性质求其标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
状元随笔 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．
方法归纳
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
题型三 椭圆的离心率问题
角度1 定义法求椭圆离心率
例3 椭圆＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是________．
角度2 构造齐次方程法求椭圆离心率
例4 设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
方法归纳
求椭圆离心率及范围的两种方法
1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a.再代入公式e＝求解．
2．方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
跟踪训练3 (1)焦点在x轴上的椭圆方程为＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)设F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]
C．[，1) D．[，1)
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
例5 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
方法归纳
1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(对称相关点法)．
跟踪训练4 已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
易错辨析 忽视隐含条件致错
例6 若直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)
答案：[1，5)
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．已知点(3，2)在椭圆＝1(a>b>0)上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3，2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在椭圆上
2．[多选题]已知椭圆＝1与椭圆＝1有相同的长轴，椭圆＝1的短轴长与椭圆＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25 B．b2＝25
C．a2＝9 D．b2＝9
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆的标准方程为________．
5．若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求椭圆的标准方程．
1．2 椭圆的简单几何性质
新知初探·课前预习
要点
－a a －b b －a a －b b x y (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．故选D.
答案：D
3．解析：由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是6答案：A
4．解析：由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆方程是＝1.
答案：＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：椭圆的方程可化为：＝1.
∵m－＝>0，∴m>.
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝得 ＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1，F2
四个顶点分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.
跟踪训练1 解析：(1)把椭圆的方程写成标准方程为＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，∴2a＝10，2b＝6，＝0.8.
(2)椭圆方程可化为＝1.
①当0②当m>4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2，0)，B2(2，0)．
答案：(1)B (2)见解析
例2 解析：(1)设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，
由已知得2a＝10，故a＝5.
∵e＝＝，∴c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＝1或＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，
故a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＝1或＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得
＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆方程为＝1或＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，故＝或＝，即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.
跟踪训练2 解析：(1)由题意，得解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＝1.
(2)由2a＝18，得a＝9.
又因为2c＝＝6，所以c＝3.
所以b2＝a2－c2＝81－9＝72.
所以所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)因为椭圆的长轴长是6，cs ∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的方程是＝1或＝1.
答案：(1)B (2)＝1 (3)＝1或＝1
例3
解析：如图，设F(c，0)，由△OAF是等边三角形，得A()，
∵点A在椭圆上，∴有＝1 ①，在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1
答案：－1
例4 解析：解法一 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.
解法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°，可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
答案：D
跟踪训练3 解析：(1)由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得×2c×b＝×(2a＋2c)×得，a＝2c，即e＝＝，故选C.
(2)由垂直平分线的性质知|F1F2|＝|PF2|，设直线x＝与x轴的交点为M，则|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝，又0答案：(1)C (2)D
例5 解析：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2，
由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＝1(x≠－2)．
跟踪训练4 解析：设P(x0，y0)，Q(x，y)，由中点坐标公式得∴
又∵点P在椭圆＝1上，
∴＝1，即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
[课堂十分钟]
1．解析：由椭圆关于坐标轴对称，关于原点中心对称可知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)都在椭圆上．
答案：C
2．解析：椭圆＝1的长轴长为10，椭圆＝1的短轴长为6，
由题意可知椭圆＝1的焦点在x轴上，即有a＝5，b＝3.
故选AD.
答案：AD
3．解析：由题意知2a＝2×2b，即a2＝4b2＝b2＋c2，所以c2＝3b2.所以a2＝c2，所以e＝.故选D.
答案：D
4．解析：∵2a＝12，a＝6，e＝＝，
∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.
又∵椭圆焦点的位置不确定，
∴所求的方程为＝1或＝1.
答案：＝1或＝1
5．解析：由于椭圆的短轴端点到焦点的距离为a，
所以由已知得：
所以从而b2＝9，
当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＝1，
所以所求椭圆的标准方程为＝1或＝1.标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
范围
____≤x≤____，____≤y≤____
____≤y≤____，____≤x≤____
对称性
关于____轴、____轴对称，关于原点对称
顶点坐标
A1______，A2____，B1____，B2____
A1____，A2____，B1____，B2____
轴长
长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____
离心率
e＝________(0易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致错，错误答案为[1，＋∞)．
注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此类问题时，一定要排除圆的情况．