北师大版 (2019)选择性必修 第一册第六章 概率1 随机事件的条件概率1.2 乘法公式与事件的独立性达标测试

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1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(AB)等于( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(9,10)
C.eq \f(2,15) D.eq \f(1,15)
2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq \f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,5).假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A.eq \f(59,60) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,60)
3．如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是( )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
4．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq \f(2,3)表示( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
5．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为( )
A．0.998 B．0.046
C．0.002 D．0.954
6．[多选题]甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )
A．P(A)＝P(B)＝P(C)
B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB)
C．P(ABC)＝eq \f(1,8)
D．P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(1,8)
7．从甲袋内摸出1个白球的概率为eq \f(1,3)，从乙袋内摸出1个白球的概率为eq \f(1,2)，则从这两个袋内各摸出1个球，两个球不都是白球的概率为________．
8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则3人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
9．甲、乙二人进行射击游戏，目标靶上有三个区域，分别涂有红、黄、蓝三色，已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是eq \f(1,5)，eq \f(2,5)，eq \f(1,5)，乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是eq \f(1,6)，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，二人射击情况互不影响，若甲、乙各射击一次，试预测二人命中同色区域的概率为_________________________．
10．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为eq \f(1,2)与eq \f(2,5).
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
[提能力]
11．[多选题]甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1、A2、A3两两互斥
12．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,18)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
13．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________________．
14．大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩，他们的导师根据他们的论文质量估计他们都能过关的概率为eq \f(1,2)，甲过而乙没过的概率为eq \f(1,4)(导师不参与自己学生的论文答辩)，则导师估计乙能过关的概率为_____________________________．
15．根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；
(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率．
[培优生]
16．甲乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选试题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
课时作业(四十四)
1．解析：∵P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)，P(A)＝eq \f(2,5)且P(B|A)＝eq \f(1,3)，
∴P(AB)＝P(A)×P(B|A)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,15).
答案：C
2．解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5).因此，他们不去北京旅游的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(3,5).
答案：B
3．解析：系统可靠即A，B，C3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：B
4．解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,2)，由于A，B相互独立，所以1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3).根据互斥事件可知C正确．
答案：C
5．解析：依题意，三枚导弹命中目标相互独立，因此
方法一 至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝0.9×0.9×0.2＋0.9×0.1×0.8＋0.1×0.9×0.8＋0.9×0.9×0.8＝0.9×0.9×(0.2＋0.8)＋2×0.9×0.1×0.8＝0.954.
方法二 三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝2×0.9×0.1×0.2＋0.01＝0.046.
由对立事件的概率公式知，至少有两枚导弹命中目标的概率为P′＝1－P＝0.954.
答案：D
6．解析：由已知P(A)＝eq \f(2,4)×eq \f(2,4)＋eq \f(2,4)×eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，P(B)＝P(C)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，
由已知有P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,4)，P(AC)＝eq \f(1,4)，P(BC)＝eq \f(1,4)，
所以P(A)＝P(B)＝P(C)，则A正确；
P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，则B正确；
事件A、B、C不相互独立，故P(ABC)＝eq \f(1,8)错误，即C错误；
P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(1,8)，则D正确；
综上可知正确的为ABD.
答案：ABD
7．解析：P＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
答案：eq \f(5,6)
8．解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24 0.96
9．解析：同命中红色区域的概率为eq \f(1,5)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,30)，
同命中黄色区域的概率为eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,5)，
同命中蓝色区域的概率为eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,20)，
∴二人命中同色区域的概率为eq \f(1,30)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,20)＝eq \f(2＋12＋3,60)＝eq \f(17,60).
答案：eq \f(17,60)
10．解析：(1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,5)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,5).
故恰好命中一次的概率为P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,100).故甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝eq \f(91,100).
11．解析：因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；因为P(A1)＝eq \f(5,10)，P(A2)＝eq \f(2,10)，P(A3)＝eq \f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq \f(P（BA1）,P（A1）)＝eq \f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq \f(5,11)，故B正确；同理P(B|A2)＝eq \f(P（BA2）,P（A2）)＝eq \f(\f(2,10)×\f(4,11),\f(2,10))＝eq \f(4,11)，
P(B|A3)＝eq \f(P（BA3）,P（A3）)＝eq \f(\f(3,10)×\f(4,11),\f(3,10))＝eq \f(4,11)，
所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq \f(5,10)×eq \f(5,11)＋eq \f(2,10)×eq \f(4,11)＋eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(9,22)，故AC错误．
答案：BD
12．解析：由题意，P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＝P(Beq \(A,\s\up6(－)))，
即P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＝P(B)P(eq \(A,\s\up6(－)))，
则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝P(eq \(B,\s\up6(－))).
又P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝[P(eq \(A,\s\up6(－)))]2＝eq \f(1,9)，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)，故P(A)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(2,3).
答案：D
13．解析：由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为eq \f(5,16).
答案：eq \f(5,16)
14．解析：设导师估计甲、乙能过关的概率分别为p，q，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(pq＝\f(1,2)，,p（1－q）＝\f(1,4)，))
解得p＝eq \f(3,4)，q＝eq \f(2,3).
所以导师估计乙能过关的概率为eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
15．解析：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB.∴P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝eq \(A,\s\up6(－))B.
∴P(D)＝P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
(3)方法一 记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括eq \(A,\s\up6(－))B，Aeq \(B,\s\up6(－))，AB，且它们彼此为互斥事件．
∴P(E)＝P(eq \(A,\s\up6(－))B＋Aeq \(B,\s\up6(－))＋AB)
＝P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(AB)
＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
方法二 事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．
∴P(E)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
16．解析：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(60＋20,120)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(56＋56,120)＝eq \f(14,15)
(2)由题意知事件A，B相互独立．
方法一 “甲、乙两人考试均不合格”即事件eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))发生．
因为P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(14,15)))＝eq \f(1,45)，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(1,45)＝eq \f(44,45).
方法二 “甲、乙两人至少有一人考试合格”即事件Aeq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))B，AB有一个发生，且Aeq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))B，AB彼此互斥．所以甲、乙两人至少一人考试合格的概率为
P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(AB)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(A)P(B)
＝eq \f(2,3)×eq \f(1,15)＋eq \f(1,3)×eq \f(14,15)＋eq \f(2,3)×eq \f(14,15)＝eq \f(44,45).
故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为eq \f(44,45).