数学北师大版 (2019)1.2 椭圆的简单几何性质说课课件ppt

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第1课时　椭圆的简单几何性质
第二章　1.2　椭圆的简单几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
导语
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
内容索引
椭圆的几何性质

一
问题1　观察椭圆　　　＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
知识梳理
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
2b
2a
b
a
x轴、y轴
原点
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点.(5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大.(6)通径长为　　.(7)设P为椭圆上不与焦点共线的任意一点，则焦点三角形面积为 (∠F1PF2＝θ).
注意点：
问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁的程度不同，扁的程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁的程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？
知识梳理
椭圆的离心率：e＝ ∈(0,1).
注意点：
(2)离心率的范围为(0,1).(3)e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.
　　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为　，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.
反思感悟
　　　已知椭圆C1：　　　　＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；
由椭圆的几何性质求标准方程

二
　　求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
当椭圆的焦点在x轴上时，
由题意，得a＝3，
当椭圆的焦点在y轴上时，
由题意，得b＝3，
把b＝3代入，得a2＝27，
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程.(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.(4)写出椭圆的标准方程.
反思感悟
　　　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________.
因为椭圆的焦点在x轴上，
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝ ，则椭圆的标准方程是____________________.
所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以c＝2，b2＝32－22＝5，
求椭圆的离心率

三
　　设椭圆C：　　　＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为______.
方法一　由题意可设|PF2|＝m，
方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
延伸探究1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.
在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.
由题意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，
反思感悟
求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝　求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解.(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
　　　(1)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为
√
√
则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，可得4a＝20，即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，令x＝－c，代入椭圆的方程，
课堂小结
1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率.2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法).3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.
随堂演练

1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是
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则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
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3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
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不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
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∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，
则m>1，∴m＝2，
课时对点练

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又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
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当0当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，
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A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对
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但焦点所在的坐标轴不同.
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因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，
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6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋RC.2a＝m＋n D.b＝
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由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，
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7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0(2,4]
则11
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8.在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 　 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为____________.
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∵△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，∴a＝4，∴b2＝8，
9.已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝ ，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
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∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，
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10.如图，已知椭圆　　　＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
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(2)若椭圆的焦距为2，且　　　　　，求椭圆的标准方程.
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由题意知A(0，b)，F2(1,0)，
又c2＝1，所以b2＝2，
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又a2＝b2＋c2，
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由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
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如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，
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14.如图，把椭圆　　　＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值为______.
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设椭圆的另一个焦点为F′，由椭圆的几何性质可知|P1F|＝|P7F′|，∴|P1F|＋|P7F|＝|P7F′|＋|P7F|＝2a，同理可得|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2|P4F|＝2a，又a＝4，故|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|＝7a＝28.
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15.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为_________，短轴长为________，离心率为____.
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由题图知短轴长为底面直径12 cm，
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(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.
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设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
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于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.