湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理4.4 二项式定理达标测试

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理4.4 二项式定理达标测试，共6页。

1．已知(2x＋eq \f(1,x))n的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为( )
A．25B．26
C．35D．36
2．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是( )
A．9B．10
C．36D．45
3．[2022·湖北十堰高二期末]已知(x＋2)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则a0＝( )
A．－1B．0
C．1D．32
4．[2022·湖南师大附中高二期末]已知(eq \r(x)－eq \f(2,x))n的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为( )
A．－34B．－672
C．84D．672
5．已知(x2＋eq \f(1,\r(x)))n的展开式中的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为( )
A．5B．10
C．20D．1
6．(多选)对于(2x－eq \f(1,x2))6的展开式，下列说法正确的是( )
A．展开式共有6项
B．展开式中的常数项是240
C．展开式的二项式系数之和为64
D．展开式的各项系数之和为1
7．二项式(eq \f(2,\r(x))－eq \f(x,2))8的展开式中，二项式系数最大的项为________．
8．设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋…＋a10为________．
9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
[提能力]
10．[2022·湖南怀化高二期末]二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))eq \s\up12(11)的展开式中，系数最大的项为( )
A．第5项B．第6项
C．第7项D．第8项
11．[2022·湖南岳阳一中高二期末](多选)已知(eq \f(1,\r(x))－ax2)n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是( )
A．a＝1
B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大
D．展开式中的常数项为45
12．(a＋eq \f(1,x))(x－eq \f(2,x))6的展开式中各项系数的和为3，那么展开式中的常数项为________．
13．记(2x＋eq \f(1,x))(4x－1)9＝eq \f(b,x)＋a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则b＝________，a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a10,210)＝________．
14．已知(eq \r(3,x2)＋3x)n展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.
(1)求展开式中含有x4的项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中系数最大的项．
[培优生]
15．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2021＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2021x2021，数列{an}的首项a1＝eq \f(b1,2)＋eq \f(b2,22)＋…＋eq \f(b2021,22021)，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2021＝( )
A．－eq \f(1,2021)B．eq \f(1,2021)
C．2021D．－2021
课时作业(三十七) 二项式定理(2)
1．解析：因为(2x＋eq \f(1,x))n的展开式共有6项，所以n＝5，
所以展开式中各项二项式系数的和为25.
答案：A
2．解析：由题意知第10行的数就是二项式(a＋b)10的展开式中各项的二项式系数，故第10行第9个数是C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝45.
答案：D
3．解析：令x＝－1，则(－1＋2)5＝a0＋a1(－1＋1)＋a2(－1＋1)2＋…＋a5(－1＋1)5＝a0＝1.
答案：C
4．解析：由已知，2n＝512，则n＝9，所以Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) (eq \r(x))9－r·(－eq \f(2,x))r＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) xeq \s\up6(\f(9－3r,2)).
令9－3r＝0，得r＝3，所以常数项为(－2)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ＝－8×84＝－672.
答案：B
5．解析：因为(x2＋eq \f(1,\r(x)))n的展开式中的各项系数之和为32，即(1＋1)n＝32，所以n＝5.
又(x2＋eq \f(1,\r(x)))n的展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ·(x2)5－r·(x－eq \f(1,2))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) ·x10－eq \f(5,2)r，
令10－eq \f(5,2)r＝0，解得r＝4，所以展开式的常数项为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＝5.
答案：A
6．解析：(2x－eq \f(1,x2))6的展开式中有7项，A错；
二项式系数和为26＝64，C正确；
各项系数和为(2－1)6＝1，D正确，
展开式通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (2x)6－r(－eq \f(1,x2))r＝(－1)r26－rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x6－3r，由6－3r＝0得r＝2，所以常数项为(－1)2×24C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝240，B正确．
答案：BCD
7．解析：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T5，
∴T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) (eq \f(2,\r(x)))4(－eq \f(x,2))4＝70x2.
所以展开式中二项式系数最大的项是70x2.
答案：70x2
8．解析：当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2×1－1)10＝1，
当x＝0时，a0＝(2×0－1)10＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝0.
答案：0
9．解析：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，
(1)二项式系数之和为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(9)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(9)) ＝29；
(2)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1，即各项系数之和为－1；
(3)由(2)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①
令x＝1，y＝－1，
得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②
将①②两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq \f(59－1,2)，
此即为所有奇数项系数之和．
10．解析：由二项式(x2－eq \f(1,x))11的特点可知，
系数最大的项在中间项处取得，
第6项的系数为－C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(11)) ，
第7项的系数为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(11)) ，
故第7项的系数最大．
答案：C
11．解析：由题意，C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝eq \f(n（n－1）,2)＝45，所以n＝10(负值舍去)，
又展开式中各项系数之和为1024，所以(1－a)10＝1024，所以a＝－1，故A错误；偶数项的二项式系数和为eq \f(1,2)×210＝eq \f(1,2)×1024＝512，故B正确；(eq \f(1,\r(x))＋x2)10展开式的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；(eq \f(1,\r(x))＋x2)10的展开式的通项Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) x－eq \f(1,2)(10－r)·x2r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) ，令eq \f(5r,2)－5＝0，解得r＝2，所以常数项为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝45，故D正确．
答案：BCD
12．解析：令x＝1，可得(a＋eq \f(1,x))(x－eq \f(2,x))6的展开式中各项系数的和为(1＋a)·(1－2)6＝3，∴a＝2.
(a＋eq \f(1,x))(x－eq \f(2,x))6＝(2＋eq \f(1,x))(x－eq \f(2,x))6
＝(2＋eq \f(1,x))(x6－12x4＋60x2－160＋240·eq \f(1,x2)－160eq \f(1,x4)＋64eq \f(1,x6))
故该展开式中常数项为2×(－160)＝－320.
答案：－320
13．解析：因为(2x＋eq \f(1,x))(4x－1)9＝eq \f(b,x)＋a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
所以－eq \f(1,x)＝eq \f(b,x)，所以b＝－1，
令x＝eq \f(1,2)，可得3×19＝－2＋a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a10,210)，
所以a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a10,210)＝5.
答案：－1 5
14．解析：(1)令x＝1，可得二项展开式的系数和为4n，又由二项式的二项式系数和为2n，
根据题意4n－2n＝992，解得n＝5，即二项式为(eq \r(3,x2)＋3x)5，
可得展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (eq \r(3,x2))5－r·(3x)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) 3r·xeq \s\up6(\f(10＋r,3))，
令eq \f(10＋r,3)＝4，可得r＝2，则T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·32·x4＝90x4，
即展开式中含有x4的项90x4.
(2)因为n＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，由(1)可得T3＝Ceq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5))·32·x4＝90x4，T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·33·xeq \s\up6(\f(13,3))＝270xeq \s\up6(\f(13,3))，
展开式中二项式系数最大的项为90x4和270xeq \s\up6(\f(13,3)).
(3)设展开式中第k＋1项系数最大，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·3k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(5)) ·3k－1,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·3k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(5)) ·3k＋1))，
解得eq \f(7,2)≤k≤eq \f(9,2)且k∈N，所以k＝4，可得T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ·34·xeq \s\up6(\f(14,3))＝405xeq \s\up6(\f(14,3))，
即展开式中系数最大的项为405xeq \s\up6(\f(14,3)).
15．解析：令x＝eq \f(1,2)，得(1－2×eq \f(1,2))2021＝b0＋eq \f(b1,2)＋eq \f(b2,22)＋…＋eq \f(b2021,22021)＝0.
又因为b0＝1，所以a1＝eq \f(b1,2)＋eq \f(b2,22)＋…＋eq \f(b2021,22021)＝－1.
由an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
得eq \f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，
所以eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是首项为eq \f(1,S1)＝－1，公差为－1的等差数列，所以eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以Sn＝－eq \f(1,n)，所以S2021＝－eq \f(1,2021).
答案：A