高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理本章综合与测试课后复习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第4章 计数原理本章综合与测试课后复习题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某市设置有A，B，C三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有( )

A．5种B．6种C．8种D．9种
2．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展开式的中间项为( )
A．126x6B．－126x3
C．126x6和－126x3D．126x6和126x3
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A．－10B．10C．－5D．5
4．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(2,x)))eq \s\up12(4)的展开式中的常数项为( )
A．8B．－8C．32D．－32
5．某校为了落实教育部提出的第三十七个教师节“赓续百年初心，担当育人使命”的主题，开展了文娱汇演活动．校文娱组委会要在原定排好的8个节目中增加2个节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为( )
A．45B．90C．180D．270
6．[2022·湖南株洲高二期末]2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲、乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．270种B．240种C．210种D．180种
7．若(x－a)(1－2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝( )
A．－eq \f(1,4)B．eq \f(1,4)C．－eq \f(1,2)D．eq \f(1,2)
8．[2022·湖南长沙高二期末]为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作．已知该馆有甲、乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为( )
A．252B．250C．182D．180
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知n，m∈N＋，且n>m，则( )
A．C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) B．A eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n)) >A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n))
C．A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) >C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) D．C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1))
10．对于式子(3x－1)6，下列说法正确的有( )
A．它的展开式中第4项的系数等于135
B．它的展开式中第3项的二项式系数为20
C．它的展开式中所有项系数之和为64
D．它的展开式中第一项的系数为36
11．现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则( )
A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种
B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种
C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种
12．[2022·山东威海高二期末]若(x2－1)(2x＋1)6＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a8(x＋2)8，则( )
A．a0＝－1B．x3的系数为－148
C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8＝0D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝4×56
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．将甲、乙、丙、丁4名志愿者分配到A，B，C三个小组，每个小组至少分配1人，其中甲、乙两人被分配到同一小组的不同分法的种数为________．
14．(1－2x)5(1＋3x)的展开式中x2项的系数为________．
15．[2022·湖南石门六中高二期末]用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数．
16．若(x－2)5＝a5(x－1)5＋a4(x－1)4＋a3(x－1)3＋a2(x－1)2＋a1(x－1)1＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________，a3＝________．(用数字作答)
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)平面内有A，B，C，D，E共5个点，
(1)以其中2个点为端点的线段共有多少条？
(2)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
18．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙高二期末]在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(8)的展开式中，求：
(1)展开式的第四项；
(2)展开式的常数项；
(3)展开式的各项系数的和．
19．(本小题满分12分)为了纪念建党100周年，某班准备组织一次以“传承红色基因，涵育人格品行”为主题的班会，现准备从8名男生和6名女生中选出4人在班会上发言，问：
(1)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
(2)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
20．(本小题满分12分)[2022·广东梅州高二期末]在(eq \r(x)＋eq \f(2,\r(4,x)))n的展开式中，前3项的二项式系数的和为22.
(1)求n的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
21．(本小题满分12分)某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？
22．(本小题满分12分)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(n)的展开式中前3项的系数成等差数列，设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.
(1)求a0的值；
(2)求系数最大的项．
章末质量检测(四) 计数原理
1．解析：第一步选择接种点位，有3种选择；第二步选择疫苗，有2种选择，由分步乘法原理知，共有3×2＝6种安排方法．
答案：B
2．解析：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展开式共有10项，中间项有两项，为第五项和第六项，
T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(9)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2))eq \s\up12(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(4)＝126x6，
T6＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) (x2)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(5)＝－126x3.
答案：C
3．解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式的通项为：
Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) x5－r(－1)req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (－1)rx5－2r，
令5－2r＝3可得r＝1，
所以含x3项的二项式系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＝5.
答案：D
4．解析：展开式中常数项为T3＋1＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (x3)1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))eq \s\up12(3)＝－32.
答案：D
5．解析：可分成两步：第一步，在8个原定节目所产生的9个空隙中插入一个节目，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) 种不同的排法，
第二步，在已排好的9个节目所产生的10个空隙中插入另一个节目，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) 种不同的排法．
根据分步乘法计数原理知，共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ＝90种不同的排法．
答案：B
6．解析：甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝eq \f(7×6,2×1)·eq \f(5×4×3,3×2×1)＝210.
答案：C
7．解析：因为(1－2x)5的展开式中x2的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·(－2)2＝40，x3的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ·(－2)3＝－80，所以(x－a)(1－2x)5的展开式中x3的系数为40×1＋(－80)×(－a)＝40＋80a，由40＋80a＝20得a＝－eq \f(1,4).
答案：A
8．解析：因为每个展区至少要派3人，则两个展区中派遣的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女志愿者不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ＋\f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )－1))Aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝180.
答案：D
9．解析：由于已知n，m∈N＋，且n>m，
利用组合数的性质，可得C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) ，故A正确；
当n＝10，m＝9时，A eq \\al(\s\up1(m＋1),\s\d1(n)) ＝A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ，故B错误；
当m＝1时，A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ，故C错误；
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) ＝eq \f(n！,m！（n－m）！)＋eq \f(n！,（m－1）！（n－m＋1）！)
＝eq \f(n！（n－m＋1）＋m·n！,m！（n－m＋1）)
＝eq \f(n！（n＋1）,m！（n－m＋1）！)＝eq \f(（n＋1）！,m！（n＋1－m）！)＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1)) ，故D正确．
答案：AD
10．解析：(3x－1)6的展开式的通项公式是Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (3x)6－r(－1)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) 36－r(－1)rx6－r，
T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) 33(－1)3x3＝－540x3，所以第4项的系数等于－540，故A错误；
T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) 32(－1)2x2，所以它的展开式中第3项的二项式系数为15，故B错误；
令x＝1，得26＝64，所以它的展开式中所有项系数之和为64，故C正确；
T1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) 36(－1)6x6＝36x6，所以它的展开式中第一项的系数为36，故D正确．
答案：CD
11．解析：7人里面抽3人站在前排且全排列，有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种，剩余4人在后排全排列，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，则共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝5040种，故A错误；甲不站排头也不站排尾，所以先排甲，除排头和排尾的位置剩余5个位置任选一个，则有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) 种，剩余6人全排列，有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种，则共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) ＝3600种，故B正确；因为女生必须站在一起，则先将女生捆绑一起且全排，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，再将捆绑的女生与男生一起全排，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，则共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝576种，故C正确；先将女生全排，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种，此时共产生5个空，由于男生互不相邻，则3个男生插空即可，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 种，则共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝1440种，故D正确．
答案：BCD
12．解析：令x＝－2，可得3×(－3)6＝a0，即a0＝37，故A错误；
由x2·C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(6)) (2x)·15＋(－1)×C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) (2x)3·13＝12x3－160x3＝－148x3，
所以x3的系数为－148，故B正确；
令x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8＝0×1＝0，故C正确；
令x＝－3，a0－a1＋a2－…－a7＋a8＝8×56，
与a0＋a1＋a2＋…＋a7＋a8＝0×1＝0，两式相加，
可得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝8×56，
所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝4×56，故D正确．
答案：BCD
13．解析：甲乙被分配到同一小组，则丙、丁两个各在一个小组，∴分法种数为A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种．
答案：6
14．解析：若选后项因式中的1，则前项只能取含x2对应项，则此时x2项的系数为1·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) (－2)2＝40；
若选后项因式中的3x，则前项因式只能取含x对应项，此时x2项的系数为3·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ·(－2)1＝－30，
则(1－2x)5(1＋3x)的展开式中x2项的系数为40－30＝10.
答案：10
15．解析：由题意知，这个五位数的末位是0或5，
若末位数为0，则前面四个数在1，2，3，4，5中选取即可，共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＝120个；
若末位数为5，则首位不能为0，首位共C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种情况，中间三位数没有限制，共A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 种情况，此种情形下共C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝4×24＝96；
综上所述，符合条件的五位数个数为120＋96＝216个．
答案：216
16．解析：由(x－2)5＝a5(x－1)5＋a4(x－1)4＋a3(x－1)3＋a2(x－1)2＋a1(x－1)1＋a0，
令x＝1得a0＝－1，
令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.
(x－2)5＝[(x－1)－1]5，所以a3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·(－1)2＝10.
答案：1 10
17．解析：(1)依题意，线段的两端点无顺序性，任取两个点组成线段问题是组合问题，从5个点中任取两个点共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝eq \f(5·4,2·1)＝10条，所以以其中2个点为端点的线段共有10条；
(2)依题意，有向线段的两端点有起点与终点之分，任取两个点组成有向线段问题是排列问题，从5个点中任取两个点共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝5·4＝20条，所以以其中2个点为端点的有向线段共有20条．
18．解析：展开式通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x8－r(－eq \f(1,x))r＝(－1)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x8－2r，
(1)第4项为T4＝(－1)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) x2＝－56x2；
(2)由8－2r＝0得r＝4，所以常数项为(－1)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ＝70；
(3)在展开式中令x＝1得所有项系数和为(1－1)8＝0.
19．解析：(1)不考虑甲、乙两人，从所有14名学生中选4名共有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(14)) ＝1001种；甲、乙两人都没被选共有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(12)) ＝495种；
故甲、乙两人至少有一人参加，有1001－495＝506种；
(2)此时4名学生的组成为，
第一类：1名男生、3名女生，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(8)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝160种；
第二类：2名男生、2名女生，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝420种；
第三类：3名男生、1名女生，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(8)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ＝336种；
发言的4人中既有男生又有女生，共有160＋420＋336＝916种选法．
20．解析：(1)依题意得：C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝1＋n＋eq \f(n（n－1）,2)＝22，
即n2＋n－42＝0，得n＝6或n＝－7.
∵n∈Z，∴n＝6.
∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，即T4＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) (eq \r(x))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(4,x))))eq \s\up12(3)＝160xeq \s\up6(\f(3,4)).
(2)展开式的通项公式为：Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) 2rx3－eq \f(3,4)r，(r＝0，1，…，6)，
依题：3－eq \f(3,4)r∈Z，且r∈{0，1，2，…，6}，解得r＝0或r＝4，
∴展开式中的有理项为x3和240.
21．解析：(1)根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，在剩下的7人中再选3人即可，有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＝35种选法；
(2)甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(7)) ＝21种；
(3)在9人中选出5人，有C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) ＝126种选法，甲乙均不能参加的选法有21种，则甲乙两人至少有一人参加的选法有126－21＝105种；
(4)由题意，分3种情况讨论：
①队中有2名内科医生和3名外科医生，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝40种选法；
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝60种选法；
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝20种选法，
由分类加法计数原理，可得40＋60＋20＝120种不同的选法．
22．解析：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(n)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) xn－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(r)，
因为展开式中前3项的系数成等差数列，
所以2C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ·eq \f(1,2)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，得n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(8)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
令x＝0，则a0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(8)＝eq \f(1,256).
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(8)的展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(r)，
设第r＋1项的系数最大，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(r)≥C eq \\al(\s\up1(r－1),\s\d1(8)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(r－1),C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(r)≥C eq \\al(\s\up1(r＋1),\s\d1(8)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(r＋1)))，解得2≤r≤3，
因为r∈N，所以r＝2或r＝3，
所以第3项或第4项的系数最大，
所以系数最大的项为7x5或7x6.