2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修一 第四章 计数原理 单元测试卷(含答案)

2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修一 第四章 计数原理 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为(   ).

A. B.60 C.120 D.240

2、某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的4盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有(   )

A.10 B.15 C.20 D.5

3、在二项式的展开式中，含项的二项式系数为(   )

A.15 B.-15 C.10 D.-10

4、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是(   )

A.342 B.346 C.432 D.428

5、6名同学到某博物馆里面的书画、青铜、瓷器三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，则每个场馆恰好有2名志愿者的不同安排方法有(   )

A.270种 B.90种 C.45种 D.15种

6、现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是(   )

A.20 B.90 C.120 D.240

7、甲、乙、丙3人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有A，B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙3人不同的排队方案共有(   )

A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

8、已知甲的车牌尾数为9，他的四位同事的车牌尾数分别为0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(   )

A.64 B.80 C.96 D.120

二、多项选择题

9、某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，安排学生利用周末去社区义务劳动.高三共6个班，其中只有高三(1)班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加但不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(   )

A.若高三(1)班不再分配名额，则共有种分配方法

B.若高三(1)班有除芀动模范之外的学生参加，则共有种分配方法

C.若高三(1)班恰有3人参加，则共有种分配方法

D.若每个班至少3人参加，则共有种分配方法

10、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则(   )

A.组成的三位数的个数为30

B.在组成的三位数中，奇数的个数为36

C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24

D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20

三、填空题

11、某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.

12、从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有_________种.

13、在的展开式中，的系数是________.

14、某车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又能当钳工.现要在这11名工人里选派4名钳工和4名车工修理一台机床，则不同的选派方法有__________种.

四、解答题

15、现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）.

（1）求四位“幸福数”的个数；

（2）如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”.

16、规定，其中，，且，这是组合数(，且的一种推广.

（1）求的值.

（2）组合数具有两个性质：①；②.这两个性质是否都能推广到(，)?若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.

参考答案

1、答案：B

解析：因为，所以.

所以展开式的通项为，

令得，所以展开式的常数项为.故选B.

2、答案：D

解析：根据题意,10盏照明路灯,关闭其中不相 邻的4盏,但两端的路灯不能关闭,等价于先将6盏亮着的灯排好,中间有5个空位,在其中任选4个,安排4盏关闭的灯,有种方案.

故选:D.

3、答案：A

解析：二项式的展开式的通项为,令,解得,所以展开式中 项的二项式系数为.

4、答案：B

解析：方法一：若2人都在前排左面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人都在前排右面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人分别在前排中间3个座位的左面和右面，则有种坐法，故2人都在前排，且不左右相邻，共有种坐法.若2人都在后排，且不左右相邻，则有种坐法.若2人分别在前后两排，则有种坐法.故共有种坐法.

方法二：可坐的座位一共有20个，2个人坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为.

5、答案：B

解析：不同安排方法种数为.

6、答案：C

解析：共有种不同的选派方案.

7、答案：C

解析：按排在A队的人数分4类：

综上，甲、乙、丙3人不同的排队方案共有(种).

8、答案：B

解析：5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日.第一步，安排偶数日出行，每天都有2种选择，共有种不同的选择；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选1天安排甲的车，共有种不同的选择，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有种不同的选择.综上，不同的用车方案种数为，故选B.

9、答案：BD

解析：对于A，若高三(1)班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，知有种分配方法，故A错误；

对于B，若高三(1)班有除劳动模范之外的学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故B正确；

对于C，若高三(1)班恰有3人参加，则高三(1)班需再分配1个名额，剩余19个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故C错误；

对于D，先分给除高三(1)班外的每个班级2个名额，剩余10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，有种分配方法，故D正确.故选BD.

10、答案：BD

解析：A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；

B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；

C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；

③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；

D：由选项C的分析可知，D正确；

故选：BD.

11、答案：240

解析：先将5名学生分成4组共有种，

再将4组学生安排到4所不同的学校有种，

根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.

故答案为：240.

12、答案：12

解析：由分步计数乘法原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）.

13、答案：60

解析：由题意得：，，

只需，可得，

所以，

故答案为：60.

14、答案：185

解析：设既能当车工又能当钳工的2名工人为A，B.A，B都不在内的选派方法有(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有(种)；A，B都在内，且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有(种).所以不同的选派方法共有(种).

15、答案：(1)126

(2)5789

解析：(1)根据题意, 可知四位“幸福数”中不能有0,故只需在数字 1,2,3,···,9中任取4个,将其从小到大排列, 即可得到一个四位“幸福数”,

每种取法对应1个“幸福数”,则四位“幸福数”共有个

(2)对于所有的四位“幸福数”,1在最高数位上的有个,

2在最高数位上的有个,

3在最高数位上的有个,

4在最高数位上的有个,

5在最高数位上的有 个

因为,

所以第125个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”,为5789.

16、

（1）答案：-84

解析：由题意得.

（2）答案：性质①不能推广，性质②能推广

解析：性质①不能推广，如当时，有意义，但无意义.

性质②能推广，它的推广形式是(，).证明如下：

当时，有；

当时，有

.

综上，性质②的推广得证.