湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步本章综合与测试精练

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册第2章 平面解析几何初步本章综合与测试精练，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )
A．6B．1C．2D．4
2．[2022·湖南长郡中学高二月考]圆x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0的圆心坐标为( )
A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2)
3．[2022·湖南衡阳高二期中]圆(x＋3)2＋(y＋4)2＝16与圆x2＋y2＝4的位置关系为( )
A．相离B．内切C．外切D．相交
4．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0D．x－2y＋3＝0
5．圆(x＋1)2＋y2＝2上一点到直线y＝x＋5的距离最小值为( )
A．1B．2C．eq \r(2)D．2eq \r(2)
6．[2022·湖南长沙一中月考]设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共点”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．过点P(－2，4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )
A．eq \f(28,5)B．eq \f(12,5)C．eq \f(8,5)D．eq \f(2,5)
8．[2022·湖南师大附中高二模拟]已知点P(2，2)，若圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝r2(r>0)上存在两点A、B，使得eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则r的取值范围是( )
A．(0，5) B．(0，eq \f(5,2)) C．[1，5) D．[eq \r(5)，eq \f(5,2))
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是( )
A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1，0)，一个法向量为(0，1)
B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1) ，则该直线的斜率k＝eq \f(a＋1,a)
C．若直线的一个法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量
D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
10．已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是( )
A．m∥l B．m⊥lC．m与圆相离D．m与圆相交
11．[2022·湖南怀化高二期末]直线l过点P(1，2)且与直线x＋ay－3＝0平行．若直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，则实数a的值可以是( )
A．－eq \f(4,3)B．0 C．eq \f(3,4)D．eq \f(4,3)
12．[2022·湖南雅礼中学高二期中]圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直线l：3x－4y－7＝0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是( )
A．直线l与圆C相交
B．|PQ|的最小值是1
C．从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3
D．直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋eq \r(4－x2)有两个不同的交点，则实数k的取值范围是[eq \f(5,12)，eq \f(3,4)]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．若直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
14．[2022·湖南张家界高二期中]若直线经过点A(1，1)且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为________．
15．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq \f(1,2)，设点P的轨迹为C，则轨迹C的方程为________；若轨迹C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则实数m的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
18．(本小题满分12分)直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1，2)，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)[2022·湖南嘉禾一中高二月考]已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－4y－1＝0.
(1)证明：圆C1与圆C2相交；
(2)若圆C1与圆C2相交于A，B两点，求|AB|.
20．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙一中高二期中]已知点E(－2，0)，F(2，0)，曲线C上的动点M满足eq \(EM,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))＝－3.
(1)求曲线C的方程；
(2)定点A(2，1)，由曲线C外一点P(a，b)向曲线C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.求P的轨迹方程．
21．(本小题满分12分)[2022·湖南临澧一中高二期中]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m为任意实数．
(1)求证：直线l必与圆C相交；
(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长AB最短？最短弦长是多少？
(3)若直线l被圆C截得的弦AB的中点为点M，求点M的轨迹方程．
22．(本小题满分12分)已知以点C(t，eq \f(3,t))(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O.
(1)设直线3x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，设B(0，2)，且P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求|PQ|－|PB|的最大值及此时点P的坐标．
章末质量检测(二) 平面解析几何初步
1．解析：由题意知kAB＝eq \f(m＋4,－2－3)＝－2，∴m＝6.
答案：A
2．解析：由圆x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0得，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为(－1，－2).
答案：D
3．解析：圆(x＋3)2＋(y＋4)2＝16的圆心C(－3，－4)，半径r＝4；
圆x2＋y2＝4的圆心M(0，0)，半径R＝2.
∴eq \r(（－3－0）2＋（－4－0）2)＝5，R＋r＝4＋2＝6>5.
|R－r|＝4－2＝2<5，
∴两圆相交．
答案：D
4．解析：结合图形可知，所求直线为过点(1，2)且与原点和点(1，2)连线垂直的直线，其斜率为－eq \f(1,2)，直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案：A
5．解析：圆心为(－1，0)，直线方程为y＝x＋5，
所以d＝eq \f(|－1＋5|,\r(12＋（－1）2))＝2eq \r(2)，
圆(x＋1)2＋y2＝2上一点到直线y＝x＋5的距离最小值d－r＝2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2).
答案：C
6．解析：圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圆心(1，2)，半径r＝eq \r(3－m)，则m<3，若直线l与圆C有公共点，
则圆心(1，2)到直线的距离d＝eq \f(|3－m|,\r(2))≤eq \r(3－m)，解得：1≤m<3，{m|1≤m≤2}{m|1≤m<3}，所以“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共点”的充分不必要条件．
答案：A
7．解析：直线l的斜率k＝－eq \f(a,3)，l1∥l，
又直线l过点P(－2，4)，所以l：y－4＝－eq \f(a,3)(x＋2)，
即ax＋3y＋2a－12＝0.
又直线l与圆相切，
所以eq \f(|2a＋3×1＋2a－12|,\r(a2＋9))＝5，
所以a＝－4，
所以l1与l间距离为d＝eq \f(12,5).
答案：B
8．解析：
取AB的中点D，则CD⊥AB.
因为eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则|PD|＝5|AD|，
设|CD|＝d，则eq \r(|PC|2－d2)＝5eq \r(r2－d2).
因为点P(2，2)、C(5，6)，则|PC|2＝(5－2)2＋(6－2)2＝25，
所以eq \r(25－d2)＝5eq \r(r2－d2)，得d2＝eq \f(25,24)(r2－1).
因为0≤d答案：C
9．解析：由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中，当a＝0时，不成立．
答案：ACD
10．解析：直线OP的斜率为eq \f(b,a)，直线l的斜率为－eq \f(a,b)，直线l的方程为：ax＋by＝a2＋b2，
又P(a，b)在圆外，∴a2＋b2＞r2，故m∥l，
圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离
d＝eq \f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq \f(r2,|r|)＝|r|，故m与圆相交．
答案：AD
11．解析：设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，过点P(1，2)，故c＝－1－2a，
所以直线l的方程为x＋ay－2a－1＝0，
圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)，半径为2，
直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，半弦长为eq \r(3)，则弦心距为1，
圆心到直线的距离d＝eq \f(|－2a－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝0或a＝－eq \f(4,3).
答案：AB
12．解析：圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，圆心为C(－2，3)，半径为r＝4.
对于A选项，圆心C到直线l的距离为d＝eq \f(|3×（－2）－4×3－7|,\r(32＋（－4）2))＝5>4，所以，直线l与圆C相离，A错；
对于B选项，|PQ|的最小值为d－r＝1，B对；
对于C选项，如图所示：
从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则CM⊥MQ，则|MQ|＝eq \r(|CQ|2－|CM|2)＝eq \r(|CQ|2－16)，当CQ⊥l时，|CQ|取得最小值，此时|MQ|取得最小值，即|MQ|min＝eq \r(52－16)＝3，C对；
对于D选项，由y＝1＋eq \r(4－x2)得y－1＝eq \r(4－x2)，即x2＋(y－1)2＝4，所以，曲线y＝1＋eq \r(4－x2)表示圆x2＋(y－1)2＝4的上半圆，而直线y＝k(x－2)＋4表示过点A(2，4)且斜率为k的直线，如图所示：
当直线y＝k(x－2)＋4与圆x2＋(y－1)2＝4相切，且切点在第二象限时，则eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(5,12)，
当直线y＝k(x－2)＋4过点E(－2，1)时，
则4－4k＝1，解得k＝eq \f(3,4).
由图可知，当y＝k(x－2)＋4与曲线y＝1＋eq \r(4－x2)有两个不同的交点时，k的取值范围是(eq \f(5,12)，eq \f(3,4)]，D错．
答案：BC
13．解析：因为直线x＋ay＋1＝0与直线(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，
所以1×(a－1)＋a×2＝0，解得：a＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
14．解析：设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)＝1,a＋b＝4))，解得a＝b＝2，
所以直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
15．解析：设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为：x2＋y2－x－2y＝0.
答案：x2＋y2－x－2y＝0
16．解析：设动点P(x，y)，由P到O(0，0)，A(3，0)的距离之比为eq \f(1,2)，∴|PA|2＝4|PO|2，则(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得：(x＋1)2＋y2＝4，故轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4；
∴轨迹C是以C(－1，0)为圆心，半径r＝2的圆，则C到y＝－x＋m的距离为d＝eq \f(|m＋1|,\r(2))，
∴当d＝1时，圆上恰有3个点到直线的距离为1，若圆C上有且只有四个点到直线l：y＝－x＋m的距离为1，则d＝eq \f(|m＋1|,\r(2))<1，解得－1－eq \r(2)∴实数m的取值范围为(－1－eq \r(2)，eq \r(2)－1).
答案：(x＋1)2＋y2＝4 (－1－eq \r(2)，eq \r(2)－1)
17．解析：(1)因为l1与l2相交于点(m，－1)，
所以点(m，－1)在l1、l2上，将点(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.
又因为m＝1，把(1，－1)代入l1，所以n＝7.
故m＝1，n＝7.
(2)要使l1∥l2，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,m×（－1）－2n≠0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
(3)当m≠0时，(－eq \f(m,8))×(－eq \f(2,m))＝eq \f(1,4)，
显然l1与l2不垂直．
当m＝0时，直线l1：y＝－eq \f(n,8)和直线l2：x＝eq \f(1,2)，此时l1⊥l2.
由于l1在y轴上的截距为－1，
所以－eq \f(n,8)＝－1，即n＝8.
故m＝0，n＝8.
18．解析：方法一 设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，
并且满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x0＋y0＋3＝0，,3（－2－x0）－5（4－y0）－5＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－2，,y0＝5，))
因此直线l的方程为eq \f(y－2,5－2)＝eq \f(x－（－1）,－2－（－1）)，
即3x＋y＋1＝0.
方法二 设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＋k＋2＝0，,4x＋y＋3＝0，))得x＝eq \f(－k－5,k＋4).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＋k＋2＝0，,3x－5y－5＝0，))得x＝eq \f(－5k－15,5k－3).
则eq \f(－k－5,k＋4)＋eq \f(－5k－15,5k－3)＝－2，
解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
方法三 两直线l1和l2的方程为
(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x，4－y)，
整理可得l1与l2关于(－1，2)对称图形的方程：
(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0②
①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程．
19．解析：(1)圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心为(－1，－1)，半径为2，
圆C2的标准方程为x2＋(y－2)2＝5，圆心为(0，2)，半径为eq \r(5)，
∴圆C1和圆C2的圆心之间的距离为
eq \r([0－（－1）]2＋[2－（－1）]2)＝eq \r(10)，
由eq \r(5)－2(2)由(1)结论，将圆C1与圆C2作差，得：直线AB的方程为2x＋6y－1＝0，
圆C2的圆心(0，2)到直线AB的距离为
eq \f(|12－1|,\r(22＋62))＝eq \f(11,2\r(10))，
∴|AB|＝2eq \r(（\r(5)）2－（\f(11,2\r(10))）2)＝eq \f(\r(790),10).
20．解析：(1)设M(x，y)，则eq \(EM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq \(FM,\s\up6(→))＝(x－2，y)，
所以eq \(EM,\s\up6(→))·eq \(FM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，
所以曲线C的方程为x2＋y2＝1；
(2)因为Q为切点，则PQ⊥OQ，
由勾股定理得|PQ|2＝|PO|2－|OQ|2，
又由已知|PQ|＝|PA|，故
(a2＋b2)－1＝(a－2)2＋(b－1)2，
化简得2a＋b－3＝0，
所以P的轨迹方程为2a＋b－3＝0.
21．解析：(1)由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R，
得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
∵m∈R，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，得x＝3，y＝1，
∴直线l恒过点D(3，1)，又圆C(1，2)，半径为5，
∵CD＝eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5)<5，
∴D在圆内，则直线l必与圆C相交．
(2)由(1)知D在圆内，当直线l被圆C截得的弦长AB最短时，l⊥CD，
又kCD＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，
则直线l的斜率为2，即有－eq \f(2m＋1,m＋1)＝2，解得m＝－eq \f(3,4).
此时最短弦长为2eq \r(25－5)＝4eq \r(5).
故m＝－eq \f(3,4)时，直线l被圆C截得的弦长AB最短，最短弦长是4eq \r(5).
(3)设M(x，y)，又M为AB的中点，
∴CM⊥DM，eq \(CM,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，eq \(DM,\s\up6(→))＝(x－3，y－1)，
可得eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(DM,\s\up6(→))＝0.
∴(x－3)(x－1)＋(y－1)(y－2)＝0，
即x2＋y2－4x－3y＋5＝0.
22．解析：(1)∵|OM|＝|ON|，
∴原点O在线段MN的垂直平分线上．
设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线．
∵直线MN的方程是3x＋y－4＝0，
∴直线OC的斜率k＝eq \f(\f(3,t),t)＝eq \f(3,t2)＝eq \f(1,3)，解得t＝3或t＝－3，
∴圆心为C(3，1)或C(－3，－1).
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10或(x＋3)2＋(y＋1)2＝10.
由于当圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝10时，圆心到直线3x＋y－4＝0的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去．
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
(2)由题意可知|PQ|－|PB|≤|BQ|，当B，P，Q三点共线时，等号成立．
又B，C，Q三点共线且|BQ|＝|BC|＋|CQ|时|BQ|最大，
此时|BQ|＝|BC|＋eq \r(10)＝2eq \r(10).
∵B(0，2)，C(3，1)，∴直线BC的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋2，
∴直线BC与直线x＋y＋2＝0的交点的坐标为(－6，4).
故|PQ|－|PB|的最大值为2eq \r(10)，此时点P的坐标为(－6，4).