新教材2023_2024学年高中数学第4章计数原理测评湘教版选择性必修第一册

第4章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游,若从广州到深圳一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有(　　)

A.240种 B.180种

C.120种 D.90种

2.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

3.下列计算结果是21的是(　　)

A. B. 

C. D.

4.在(a+b)n的二项展开式中,与第r项二项式系数相同的项是(　　)

A.第n-r项 B.第n-r-1项 

C.第n-r+1项 D.第n-r+2项

5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则该重卦的种数是(　　)

A.6 B.15 C.20 D.1

6.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节,物理和化学必须排在相邻的两节,则所有符合条件的排法总数为(　　)

A.24 B.144 C.48 D.96

7.1+4的展开式中,常数项为(　　)

A.1 B.3 C.4 D.13

8.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(0,3)=(　　)

A.80 B.8 C.40 D.24

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若n的展开式中含x2项,则n的值可能是(　　)

A.6 B.9 C.12 D.14

10.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则(　　)

A.a0=1 

B.a0=0

C.a0+a1+a2+…+a10=310 

D.a0+a1+a2+…+a10=3

11.在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则下列说法正确的是(　　)

A.恰好取到一件次品有种不同取法

B.至少取到一件次品有种不同取法

C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法

D.把取出的产品送到检验机构检查,能检验出有次品的不同方式有种

12.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务,现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排,则下列说法正确的有(　　)

A.若五人每人可任选一项工作,则不同的选法有54种

B.若每项工作至少安排一人,则有240种不同的方案

C.若礼仪工作必须安排两人,其余工作安排一人,则有60种不同的方案

D.已知五人身高各不相同,若安排五人拍照,前排两人,后排三人,后排三人中要求身高最高的站中间,则有40种不同的站法

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大,则n的值为　　　　　. 

14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会,其中甲、乙两位家长不能同时参加,则不同的邀请方法为　　　种. 

15.若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160,则实数a的值为　　　　,展开式中各项系数之和为　　　. 

16.若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,则a3=　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(1)计算:+…+(用数字作答).

(2)解不等式:3≤2+6.

18.(12分)在①前三项系数成等差数列,②二项式系数之和为64这两个条件中,任选一个,补充在问题中,并进行解答.

问题:在x+n的展开式中,　　　　　,求n的值及展开式中的常数项. 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

19.(12分)已知3x-n的展开式中各项系数之和为32.

(1)求n的值;

(2)求x+3x-n展开式中的常数项.

20.(12分)我们曾用组合模型发现了组合恒等式,这里所使用的方法,实际上是将一个量用两种方法分别算一次,由结果相同来得到等式,这是一种非常有用的思想方法,叫作“算两次”,对此,我们并不陌生,例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.

(1)某医院有内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,已知某内科医生必须参加的选法有66种,求x的值;

(2)化简:+…+.

21.(12分)现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.

(1)若将这些小球排成一排,且要求D,E两个球相邻,则有多少种不同的排法?

(2)若将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,则有多少种不同的排法?

(3)现将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.

(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程,结果保留数字)

22.(12分)(1)如图1所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?

(2)如图2所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?

(3)如图3所示,某地有南北街道5条,东西街道6条(注意有一段DE不通),一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?

(4)如图4所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,且有一段路DE无法通行,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法?

第4章测评

1.D　根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90.故选D.

2.C　从第三行起头尾两个数均为1,中间数等于上一行肩上两数之和,

所以a=3+3=6.故选C.

3.D　由题意可知=12+15=27,=35,=42,=21.

4.D　第r项的二项式系数是,由于,所以与第r项二项式系数相同的项是第n-r+2项.故选D.

5.C　根据题意,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,某重卦中有3个阳爻,3个阴爻,则满足题意的重卦有=20种.故选C.

6.D　根据题意,先排数学有2种方法,物理和化学相邻有种排法,再与剩下的3节随意安排,有种安排方法,故所有符合条件的排法总数为2=96.故选D.

7.D　由于1+4表示4个因式+1的乘积,

故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取,一个因式取1,一个因式取.故展开式中的常数项为1+=13,故选D.

8.D　在(1+x)6(1+y)4的展开式中,

x3y0项的系数为=20,即f(3,0)=20;x0y3项的系数为=4,即f(0,3)=4,所以f(3,0)+f(0,3)=24.故选D.

9.BD　因为n的展开式的通项为Tr+1=)n-rr=·x-2r=,

令=2,得n=4+5r,因为r∈N,若r=1,则n=9,故B正确;

若r=2,则n=14,故D正确.故选BD.

10.AC　因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,

所以令x=0可得a0=1,

令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.

11.AC　在含有3件次品的50件产品中,任取2件,恰好取到1件次品包含的基本事件个数为,A正确;

至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品,抽到两件次品,所以至少取到一件次品有种不同取法,B错误;

两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法,C正确;

由题意可知有次品即可,所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种不同方式,D错误.故选AC.

12.BCD　对于A,若五人每人可任选一项工作,则每人都有4种选法,则5人共有4×4×4×4×4=45种选法,A错误;

对于B,先将5人分为4组,将分好的4组安排四项不同的工作,有=240种分配方法,B正确;

对于C,分2步分析:在5人中任选2人,安排礼仪工作,有=10种选法,再将剩下3人安排剩下的三项工作,有=6种情况,则有10×6=60种不同的方案,C正确;

对于D,分2步分析:在5人中任选2人,安排在第一排,有=20排法,剩下3人安排在第二排,要求身高最高的站中间,有2种排法,则有20×2=40种不同的方案,D正确.故选BCD.

13.5　因为n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大,

所以,解得n=5.

14.49　若甲、乙两位家长都不参加,则有=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加,则有=42种不同的方法.综上所述,共有7+42=49种不同的方法.

15.2　1　若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160,则有(ax)3(-1)3=-20a3x3,即-20a3=-160,解得a=2.

由a=2,则(ax-1)6=(2x-1)6,令x=1,得(2x-1)6=16=1,即展开式中各项系数之和为1.

16.-20　x6=[-1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6,∴a3=(-1)3=-20.

17.解(1)根据题意,+…++…++…+=495.

(2)根据题意,x∈N+,且x≥3,3≤2+6,

即3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)·x+6x(x-1),

变形可得3(x-1)(x-2)≤8x-4,解得≤x≤5.

又x≥3,则x=3或4或5.

所以原不等式的解集为{3,4,5}.

18.解因为二项展开式的通项为Tr+1=xn-rr=·rxn-2r.

选择①:前三项的系数成等差数列,前三项的系数分别为·0=1,·2=,

则2×=1+,解得n=8或1(舍去).

当n=8时,Tr+1=·2-rx8-2r,

令8-2r=0,解得r=4,所以展开式的常数项为·2-4=.

选择②:二项式系数和为64,则2n=64,所以n=6.

当n=6时,Tr+1=·2-rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,

所以展开式的常数项为·2-3=.

19.解(1)由题意,令x=1得(3-1)n=2n=32,

解得n=5.

(2)因为二项式3x-5的通项为Tr+1=(3x)5-r·-r=(-1)r·35-r·x5-2r.

令5-2r=-1,解得r=3,故展开式中含有项的系数为(-1)3·32,

再令5-2r=1,解得r=2,展开式中含有x项的系数为(-1)2·33,

所以x+3x-5展开式中的常数项为x··(-1)3·32·x-1+·(-1)2·33·x=-9+27=18=180.

20.解(1)内科医生8名,外科医生x(x≥3)名,现要派3名医生参加赈灾医疗队,某内科医生必须参加,该事件等同于从剩下7名内科医生,外科医生x(x≥3)名,派2名医生参加赈灾医疗队,即=66,=66,即x2+13x-90=0,解得x=5或x=-18(舍去).

(2)∵(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+xn)(x+x2+…+xn),

∴xn+1的系数+…+,

∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中xn+1的系数减,∴原式=-n.

21.解(1)依题意将D,E两个球看作一个整体与其他3个球全排列,由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有=48种.

(2)将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E各不相邻,

则先把A安在中间位置,从A的2侧各选一个位置插入D,E,其余小球任意排,

方法有=16种.

(3)将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为=9种.

(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,

则先把5个小球分成3组,再进入3个盒子中.若按3,1,1分配,方法有·=60种,若按2,2,1分配,方法有·=90种.

综上可得,不同的放法共有60+90=150种.

22.解(1)由题意可知,由A到B的最短距离需要9步完成,其中向南走5次,向西走4次,

故不同的走法共有=126种.

(2)若先经过C再到B,需向南走3次,向西走2次,共种走法,

由C到B需向南走2次,向西走2次,共种走法,故先经过C再到B共有种走法,故不经过C共有=66种.

(3)经过ED,由A到D,需要3步,由E到B,需要5步,由A到D共有种走法,由E到B共有种走法,所以经过ED的走法共有种,故不经过ED的走法共有=96种.

(4)由A经过DE到C的走法共有种,再由C到B需要向南、向西各走2次,共有种走法,故经过DE到C再到B的走法共有种走法,故不经过DE也不经过C的走法共有=54种.