高中湘教版（2019）3.3 抛物线练习题

这是一份高中湘教版（2019）3.3 抛物线练习题，共7页。
1．[2022·湖南长郡中学高二期末]抛物线y＝x2的焦点坐标是( )
A．(eq \f(1,2)，0) B．(eq \f(1,4)，0)
C．(0，eq \f(1,2)) D．(0，eq \f(1,4))
2．已知在平面直角坐标系中有一定点F(1，0)，动点P(x，y)(x≥0)到y轴的距离为d，且|PF|－d＝1，则动点P的轨迹方程为( )
A．y2＝xB．y2＝4x
C．y2＝8xD．y2＝2x
3．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝1，则a的值为( )
A．eq \f(1,4)B．－eq \f(1,4)
C．4D．－4
4．若抛物线x2＝8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为( )
A．6B．±6
C．7D．±4eq \r(3)
5．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点M(4，y0)为C上一点，若|MF|＝2y0，则C的准线方程为( )
A．x＝－2B．y＝－2
C．x＝－3D．y＝－3
6.
(多选)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－eq \r(3)，则下列结论正确的是( )
A．准线方程为x＝－3
B．焦点坐标F(eq \f(3,2)，0)
C．点P的坐标为(eq \f(9,2)，3eq \r(3))
D．PF的长为3
7．[2022·湖南平江一中高二月考]若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝________．
8．抛物线x2＝2py(p＞0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5，则该抛物线的方程为________．
9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
[提能力]
10．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，则以O为顶点且过A，B的抛物线方程为( )
A．y2＝eq \f(3,2)xB．y2＝4x
C．y2＝eq \f(\r(3),3)xD．y2＝eq \f(\r(3),6)x
11．[2022·湖南师大附中高二期末](多选)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的是( )
A．准线l的方程是x＝－2
B．|ME|－|MF|的最大值为2
C．|ME|＋|MF|的最小值为5
D．以线段MF为直径的圆与y轴相切
12．[2022·湖南长沙高二期末]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l于A，若直线AF的倾斜角为120°，那么|PA|＝________．
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若|MF|＝6，则点M的横坐标为________；△MNF的面积为________．
14．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
[培优生]
15．已知P1、P2、P3、…、P10是抛物线y2＝8x上不同的点，点F(2，0)，若FP1＋FP2＋…＋FP10＝0，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝________．
课时作业(二十九) 抛物线的标准方程
1．解析：由于抛物线的方程为y＝x2，
所以2p＝1，p＝eq \f(1,2)，则eq \f(p,2)＝eq \f(1,4)，
所以抛物线y＝x2的焦点坐标是(0，eq \f(1,4)).
答案：D
2．解析：∵动点P(x，y)(x≥0)到y轴的距离为d，且|PF|－d＝1，
∴动点P到定点F(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
根据抛物线的定义可知：动点P的轨迹是抛物线，并且其焦点为：F(1，0)，准线为：x＝－1，
所以其抛物线的方程为y2＝4x.
答案：B
3．解析：根据题意，抛物线的标准方程是：x2＝eq \f(1,a)y，又其准线是y＝1，
故a＜0，且－eq \f(1,4a)＝1，解得a＝－eq \f(1,4).
答案：B
4．解析：设点P(x，y)，
因为抛物线方程为x2＝8y，
所以其准线方程为y＝－2，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：y－(－2)＝8，
解得y＝6，
所以点P的纵坐标为6.
答案：A
5．解析：因点M(4，y0)在抛物线x2＝2py上，则y0＝eq \f(8,p)，抛物线C的准线：y＝－eq \f(p,2)，
又|MF|＝2y0，于是由y0＋eq \f(p,2)＝2y0得：y0＝eq \f(p,2)，因此，eq \f(8,p)＝eq \f(p,2)，而p＞0，解得p＝4，
所以C的准线方程为y＝－2.
答案：B
6．解析：由抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点坐标F(eq \f(3,2)，0)，准线方程为x＝－eq \f(3,2)，A错B对；
∵直线AF的斜率为－eq \r(3)，
∴直线AF的方程为y＝－eq \r(3)(x－eq \f(3,2))，
当x＝－eq \f(3,2)时，y＝3eq \r(3)，
∴A(－eq \f(3,2)，3eq \r(3))，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴点P的纵坐标为3eq \r(3)，可得点P的坐标为(eq \f(9,2)，3eq \r(3))，C对；
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝eq \f(9,2)－(－eq \f(3,2))＝6，D错．
答案：BC
7．解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是(eq \f(p,2)，0)，
故椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点也为(eq \f(p,2)，0)，
可得eq \f(p,2)＝eq \r(3p－p)，解得p＝8.
答案：8
8．解析：根据题意，抛物线x2＝2py的准线为y＝－eq \f(p,2)，
因为纵坐标为2的点到焦点的距离为5，则纵坐标为2的点到准线的距离也为5，
则有2－(－eq \f(p,2))＝5，解得：p＝6，
所以抛物线的方程为x2＝12y.
答案：x2＝12y
9．解析：(1)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
将(3，－4)的坐标分别代入方程中，
∴由(－4)2＝2p×3，得：2p＝eq \f(16,3)；由32＝－2p1×(－4)，得2p1＝eq \f(9,4).
∴所求抛物线的标准方程为y2＝eq \f(16,3)x或x2＝－eq \f(9,4)y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
10．解析：因为等边三角形AOB边长为1，且AB⊥x轴，
不妨设A(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，因为点A在抛物线上，
所以(eq \f(1,2))2＝2p×eq \f(\r(3),2)，
解得p＝eq \f(\r(3),12)，
所以抛物线方程为y2＝eq \f(\r(3),6)x.
答案：D
11．解析：因为抛物线的方程为y2＝8x，所以p＝4，则准线l的方程是x＝－eq \f(p,2)＝－2，因此选项A正确；
因为焦点F(2，0)，则|ME|－|MF|≤|EF|＝eq \r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq \r(2)，当点F在线段ME上时取等号，所以|ME|－|MF|的最大值为eq \r(2)，因此选项B是错误的；
过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|≥|EB|＝5，当点M在线段EB上时取等号，所以|ME|＋|MF|的最小值为5，因此C选项正确；
设点M(x0，y0)，线段MF的中点为D，则xD＝eq \f(x0＋2,2)＝eq \f(|MF|,2)，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，因此D选项正确．
答案：ACD
12．解析：如图，令抛物线准线l交x轴于点E，连PF，点F(1，0)，直线l：x＝－1，
因直线AF的倾斜角为120°，则有∠AFE＝60°，又PA⊥l于A，即PA∥x轴，得∠PAF＝60°，
由抛物线定义知：|PF|＝|PA|，于是得△PAF为正三角形，即|PA|＝|AF|＝2|EF|＝4，
所以|PA|＝4.
答案：4
13．解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0).
因为|MF|＝6，xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，
所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
答案：5 4eq \r(5)
14．解析：
(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
连接AF，交抛物线于点P，则最小值为eq \r(22＋12)＝eq \r(5).
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±eq \r(12)，
因为eq \r(12)>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
15．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P10(x10，y10)，分别过P1，P2，P3，…，P10，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…，Q10，
∴P1、P2、P3、…、P10是抛物线y2＝8x上不同的点，点F(2，0)，准线为x＝－2，
∴|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋…＋(x10＋2)＝x1＋x2＋x3＋…＋x10＋20.
∵FP1＋FP2＋…＋FP10＝0，
∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝20，
∴|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋x3＋…＋x10＋20＝20＋20＝40.
答案：40