沪科版七年级数学上册专题特训 专题2.1 单项式与多项式【十大题型】（原卷版+解析版）

这是一份沪科版七年级数学上册专题特训 专题2.1 单项式与多项式【十大题型】（原卷版+解析版），共18页。
专题2.1 单项式与多项式【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27318" 【题型1 列代数式】  PAGEREF _Toc27318 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8411" 【题型2 单项式与多项式的概念】  PAGEREF _Toc8411 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5696" 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】  PAGEREF _Toc5696 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc26052" 【题型4 根据单项式的次数求参】  PAGEREF _Toc26052 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17036" 【题型5 直接确定多项式的项与次数】  PAGEREF _Toc17036 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31463" 【题型6 根据多项式的项与次数求参】  PAGEREF _Toc31463 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc5040" 【题型7 单项式与多项式综合运用】  PAGEREF _Toc5040 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc14844" 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】  PAGEREF _Toc14844 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc4750" 【题型9 单项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc4750 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc3622" 【题型10 多项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc3622 \h 6【知识点1 代数式的概念】1.代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．2.代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（　　）A．3m﹣n2 B．（m﹣3n）2 C．（3m﹣n）2 D．3（m﹣n）2【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是 　 　．【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（　　）A．ab B．ab C．ab D．ab【知识点1 单项式的概念】单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．【知识点2 多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：、x2y、x2+y2﹣1、x、3x2y+3xy2+x4﹣1、32t3、2x﹣y，单项式的个数为a，多项式的个数为b，则ab＝　　．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x2y，0，，﹣22abc2，，，ab2a2b中单项式的个数有（　　）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，﹣2y2，，4，﹣m，，其中是多项式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，，2x2+3x﹣1，，﹣y，，单项式：{ …}多项式：{ …}．【知识点3 单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4 单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式的系数为　 　，次数为　 　．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）x2y3z．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣xa+2byb﹣a的次数是　 　．【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为　 　．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝　 　．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2bm+2的次数相同，则m2﹣2m的值为　 　．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．【知识点5 多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是　　次　　项式．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2x2y2﹣3的最高次项是　　，三次项的系数是　　，常数项是　　．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x﹣2的次数与项数之和为 　　．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c＝　　．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是　　 ．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝　 ．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝　 　．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是　　 　　．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式6是五次四项式，单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m＝　 　，n＝　 　．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2yx2x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝　　 　．【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是 　　 　　．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式 　　 　　．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为　 　　；（2）第二行第n个单项式为　　 　；（3）第三行第8个单项式为　　 　；第n个单项式为　　 　　．【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是　　 　　．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：，，，，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：则第1008个式子是　　 　．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是　　 　．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是　 　．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为　2　．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为　　 　　．专题2.1 单项式与多项式【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27318" 【题型1 列代数式】  PAGEREF _Toc27318 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8411" 【题型2 单项式与多项式的概念】  PAGEREF _Toc8411 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc5696" 【题型3 直接确定单项式的系数与次数】  PAGEREF _Toc5696 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26052" 【题型4 根据单项式的次数求参】  PAGEREF _Toc26052 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17036" 【题型5 直接确定多项式的项与次数】  PAGEREF _Toc17036 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc31463" 【题型6 根据多项式的项与次数求参】  PAGEREF _Toc31463 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc5040" 【题型7 单项式与多项式综合运用】  PAGEREF _Toc5040 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc14844" 【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】  PAGEREF _Toc14844 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc4750" 【题型9 单项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc4750 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc3622" 【题型10 多项式中的规律探究】  PAGEREF _Toc3622 \h 12【知识点1 代数式的概念】1.代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．2.代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.【题型1 列代数式】【例1】（2022秋•洛阳期末）如图，A，B两地之间有一条东西走向的道路．在A地的东边5km处设置第一个广告牌，之后每往东12km就设置一个广告牌．一辆汽车从A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　）A．（12n+7）km B．（12n+5）km C．（12n﹣7）km D．（12n﹣5）km【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出这辆汽车行驶的路程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，一汽车在A地出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为：5+12（n﹣1）＝（12n﹣7）km，故选：C．【变式1-1】（2022秋•朝阳区期末）用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”，正确的是（　　）A．3m﹣n2 B．（m﹣3n）2 C．（3m﹣n）2 D．3（m﹣n）2【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，先表示出m的3倍，再表示出与n的差，最后表示出平方即可．【解答】解：m的3倍与n的差的平方表示为：（3m﹣n）2，故选：C．【变式1-2】（2022秋•侯马市期末）一个两位数，个位数字和十位数字之和为10，个位数字为x，用代数式表示这个两位数是 　 　．【分析】根据题意，先求出十位数字，然后写出这个两位数，注意化简．【解答】解：个位数字是x，则十位数字是10﹣x，所以这个两位数是（10﹣x）×10+x＝100﹣9x．故答案为：100﹣9x【变式1-3】（2022秋•正定县期末）如图，阴影部分是一个长方形截去两个四分之一的圆后剩余的部分，则它的面积是（其中a＞2b）（　　）A．ab B．ab C．ab D．ab【分析】根据图形可得阴影部分的面积＝矩形的面积﹣两个扇形面积．【解答】解：S矩形＝长×宽＝ab，S扇形•πb2•2πb2，S阴影＝S矩形﹣S扇形＝ab．故选：B．【知识点1 单项式的概念】单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注意：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．【知识点2 多项式的概念】多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．【题型2 单项式与多项式的概念】【例2】（2022秋•莱阳市期中）下列整式中：、x2y、x2+y2﹣1、x、3x2y+3xy2+x4﹣1、32t3、2x﹣y，单项式的个数为a，多项式的个数为b，则ab＝　12　．【分析】先选出多项式和单项式，即可得出答案．【解答】解：单项式有、x2y、x、32t3，即a＝4，多项式有x2+y2﹣1、3x2y+3xy2+x4﹣1、2x﹣y，即b＝3，ab＝12，故答案为：12．【变式2-1】（2022秋•东莞市校级期中）整式﹣0.3x2y，0，，﹣22abc2，，，ab2a2b中单项式的个数有（　　）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】根据单项式的定义判断即可．【解答】解：整式﹣0.3x2y，0，，﹣22abc2，，，ab2a2b中单项式有﹣0.3x2y，0，﹣22abc2，，共5个，故选：B．【变式2-2】（2022秋•太湖县期末）下列式子：2a2b，3xy，﹣2y2，，4，﹣m，，其中是多项式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】几个单项式的和叫做多项式，结合所给式子进行判断即可．【解答】解：式子：2a2b，3xy，﹣2y2，，4，﹣m，，中，是多项式的有，，共2个．故选：A．【变式2-3】（2022秋•新洲区期末）（2022秋•端州区月考）把下列各式分别填在相应的大括号内．﹣2，x2y，，2x2+3x﹣1，，﹣y，，单项式：{ …}多项式：{ …}．【分析】根据单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式，可得答案．【解答】解：单项式：{﹣2，x2y，，，﹣y}； 多项式：{2x2+3x﹣1，}．故答案为：﹣2，x2y，，，﹣y； 2x2+3x﹣1，．【知识点3 单项式的系数】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.【知识点4 单项式的次数】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．【题型3 直接确定单项式的系数与次数】【例3】（2022秋•滨江区期末）单项式的系数为　　，次数为　3　．【分析】根据单项式的次数和系数进行解答．【解答】解：单项式的系数为；次数为3；故答案为，3．【变式3-1】（2022秋•长垣市月考）指出下列各单项式的系数和次数．（1）﹣12πxy2（2）﹣22a2bc（3）x2y3z．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：（1））﹣12πxy2 的系数是﹣12π，次数是3；（2）﹣22a2bc的系数是﹣4，次数是4；（3）x2y3z的系数是，次数是6．【变式3-2】（2022秋•商水县期末）已知|a+1|+（b﹣2）2＝0，则单项式﹣xa+2byb﹣a的次数是　4　．【分析】先求出a与b的值，然后代入单项式中即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a+1＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴将a与b代入单项式中可得：﹣2xy3单项式的次数为：4故答案为：4【变式3-3】（2022秋•惠城区期末）已知单项式x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为　﹣3　．【分析】直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，即可得出答案．【解答】解：∵单项式x2y2的系数为m，次数为n＝4，∴mn的值为：4＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型4 根据单项式的次数求参】【例4】（2022秋•高密市期末）若（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，则a＝　﹣2　．【分析】根据单项式系数和次数的概念求解．【解答】解：∵（a﹣2）x2y|a|+1是x，y的五次单项式，∴a﹣2≠0，2+|a|+1＝5，解得：a≠2，a＝±2，则a＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式4-1】（2022秋•孟津县期末）已知单项式6x2y4与﹣3a2bm+2的次数相同，则m2﹣2m的值为　0　．【分析】根据两个单项式的次数相同可得2+4＝2+m+2，再解即可得到m的值，进而可得答案．【解答】解：由题意得：2+4＝2+m+2，解得：m＝2，则m2﹣2m＝0．故答案为：0．【变式4-2】（2022秋•德惠市期中）已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．【解答】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，∴，解得：，则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．【变式4-3】（2022秋•驻马店校级期中）若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．【分析】利用单项式的定义得出m的值，进而利用单项式次数的定义得出n的值，进而得出答案．【解答】解：∵﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，∴m＝﹣8，且2+|n﹣3|＝10，解得：n＝11或﹣5，则m+n＝3或m+n＝﹣13．【知识点5 多项式的项与次数】多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．【题型5 直接确定多项式的项与次数】【例5】（2022秋•端州区校级期中）多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是　三　次　四　项式．【分析】要确定多项式是几次几项式，就要确定多项式的次数和项数，根据多项式次数和项数的概念可知，该多项式是三次四项式．【解答】解：多项式xy2﹣9xy+5x2y﹣36是三次四项式．故答案为：三，四．【变式5-1】（2022秋•平原县校级期中）多项式2x2y﹣x2x2y2﹣3的最高次项是　x2y2　，三次项的系数是　2　，常数项是　﹣3　．【分析】直接利用多项式的各项确定方法分别求出答案．【解答】解：多项式2x2y﹣x2x2y2﹣3的最高次项是：x2y2，三次项的系数是：2，常数项是﹣3．故答案为：x2y2，2，﹣3．【变式5-2】（2022春•杨浦区校级期末）多项式﹣3x2y+4xy+x﹣2的次数与项数之和为 　7　．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数可得答案．【解答】解：多项式x2y﹣xy2+3xy﹣1的次数与项数分别是3和4，3+4＝7，故答案为：7．【变式5-3】（2022秋•苍溪县期中）已知多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数为c，则a+b+c＝　﹣2　．【分析】首先利用多项式的系数、次数及常数项确定a、b、c的值，然后求和即可．【解答】解：∵多项式﹣2m3n2﹣5中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，∴a＝﹣2，b＝5，c＝﹣5，∴a+b+c＝﹣2+5﹣5＝﹣2，故答案为：﹣2．【题型6 根据多项式的项与次数求参】【例6】（2022秋•呈贡区月考）若多项式x|m|﹣（m﹣4）x+7是关于x的四次二项式，则m的值是　4　．【分析】根据四次二项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，项数是2，所以可确定m、n的值，即可求解．【解答】解：由多项式是关于x的四次二项式知：|m|＝4且m﹣4＝0，解得m＝4．故答案为：4．【变式6-1】（2022秋•泰兴市校级期中）已知多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，则m＝　3　．【分析】先观察多项式的各项，再确定每项的次数，最高次项的次数就是多项式的次数．【解答】解：∵多项式x﹣3xym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次多项式，∴1+m+1＝5，解得：m＝3．故答案为：3．【变式6-2】（2022秋•陇县期末）多项式x+7是关于x的二次三项式，则m＝　2　．【分析】由于多项式是关于x的二次三项式，所以|m|＝2，但﹣（m+2）≠0，根据以上两点可以确定m的值．【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式，∴|m|＝2，∴m＝±2，但﹣（m+2）≠0，即m≠﹣2，综上所述，m＝2，故填空答案：2．【变式6-3】（2022秋•莒县期末）如果（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，则k的值是　﹣3　．【分析】直接利用多项式的定义得出|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，进而得出答案．【解答】解：∵（|k|﹣3）x3﹣（k﹣3）x2﹣2是关于x的二次多项式，∴|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【题型7 单项式与多项式综合运用】【例7】（2022秋•麻城市期末）已知多项式6是五次四项式，单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m＝　2　，n＝　1　．【分析】根据多项式6是五次四项式，得到m+1＝3，根据单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，得到2n+5﹣m＝5，即可解答．【解答】解：∵多项式6是五次四项式，∴m+1＝3，∴m＝2，∵单项式0.4x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，∴2n+5﹣m＝5，∴n＝1，故答案为：2，1．【变式7-1】（2022秋•赤壁市期中）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2yx2x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．【解答】解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2yx2x2ym+3的次数为6，∴2+n＝5，2+m+3＝6，解得：m＝1，n＝3，∴（m+n）xmyn＝4xy3，系数是4，次数是1+3＝4，4+4＝8，即单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和是8．【变式7-2】（2022秋•建华区校级期中）已知多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，（m，n是常数），则mn＝　16　．【分析】利用多项式的次数定义得出m的值，进而利用单项式的次数得出n的值，即可得出答案．【解答】解：∵多项式（m+4）x|m|y2+xy﹣4x+1六次四项式，单项式5x2ny6﹣m与多项式的次数相同，∴|m|+2＝6且m+4≠0，2n+6﹣m＝6，解得m＝4，n＝2，则mn＝42＝16．故答案为：16．【变式7-3】有三个单项式：a2，b，1，请问由这三个单项式与加、减、乘、除等运算符号能组成哪些多项式？【分析】根据单项式和多项式的定义即可得出答案．【解答】解：根据题意得，组成的多项式有：a2+b+1；a2+b﹣1；a2﹣b+1；a2﹣b﹣1；a2b+1；a2b﹣1；﹣a2+b+1；﹣a2+b﹣1；﹣a2﹣b+1；﹣a2﹣b﹣1；﹣a2b+1；﹣a2b﹣1．【题型8 单项式与多项式中的结论开放性问题】【例8】（2022秋•鄞州区期末）某单项式的系数为2，只含字母x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式可以是 　2xy2或2x2y（答案不唯一）　．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【解答】解：2xy2或2x2y是只含字母x、y，系数为2，次数为3的单项式，故答案为：2xy2或2x2y（答案不唯一）．【变式8-1】（2022秋•南川区期末）一个单项式满足下列两个条件：①系数是﹣3；②次数是四次．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式 　﹣3x4（答案不唯一）　．【分析】根据单项式的数字因数为单项式的系数，单项式的所有字母的指数的和为单项式的次数可解决此题．【解答】解：根据单项式的系数与次数的定义，满足条件的单项式可为﹣3x4（答案不唯一）．故答案为：﹣3x4（答案不唯一）．【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期中）试写出只含有字母x、y，同时满足下列条件的两个多项式：①六次三项式．②各项系数绝对值为1．③不含常数项．【分析】根据多项式的相关概念回答即可．【解答】解：根据题意得：xy5﹣xy+xy2（答案为不唯一）．【变式8-3】（2022秋•朝阳区校级期中）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：①该多项式含有字母x和y；②该多项式第一项是常数项；③该多项式是三次四项式；④该多项式各项系数和为零．【分析】根据题目的要求可直接写出符合条件的多项式，本题为开放题，答案不唯一．【解答】解：3﹣x+2y﹣4xy2（答案不唯一）．【题型9 单项式中的规律探究】【例9】（2022秋•硚口区期中）观察下面有规律的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为　128x8　；（2）第二行第n个单项式为　（﹣2）nxn　；（3）第三行第8个单项式为　﹣129x9　；第n个单项式为　（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1　．【分析】通过观察很容易得到三组数据数字因数、字母次数之间的关系，根据规律写出相应的式子即可．【解答】解：（1）因为第一行的每个单项式，数字因数后面都是前面的2倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第一行第8个单项式为 128x8；（2）因为第二行的每个单项式，数字因数后面都是前面的（﹣2）倍，字母次数与这个单项式是第几个有关，根据这个规律可得第n个单项式为 （﹣2）nxn；（3）通过观察第三行的这组单项式，这组单项式符合 （﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1，第8个单项式是﹣129x9；第n个单项式为 （﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1．故答案为：（1）128x8，（2）（﹣2x）n，（3）﹣129x9 ，（﹣1）n+1（1+2n﹣1）xn+1【变式9-1】（2022•雁塔区校级开学）观察下列关于x的表达式，探究其规律：﹣x，﹣4x3，+7x5，﹣10x7，﹣13x9，16x11…，按照上述规律，第2017个表达式是　﹣6049x4033　．【分析】系数的规律：第n个对应的系数的绝对值是3n﹣2，指数的规律：第n个对应的指数是2n﹣1，依此即可求解．【解答】解：根据分析的规律，2017÷3＝672…1，第2017个表达式是：﹣6049x4033．故答案为：﹣6049x4033．【变式9-2】（2012秋•和平区期中）观察下列排列的单项式的规律：，，，，…．（1）请按照此规律写出第10个单项式；（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．【分析】（1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（﹣1）n+1，字母变化规律是a2bn；（2）利用（1）中规律得出答案．【解答】解：（1）∵，，，，…∴第10个单项式为：a2b10；（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1a2bn（n≥2），系数为：（﹣1）n+1，次数为：2+n．【变式9-3】（2022秋•海珠区期末）一组按规律排列的式子：则第1008个式子是　　．【分析】观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可求解．【解答】解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，1，3，5，7，…分母可表示为2n﹣1，则第n个式子为：．故第1008个式子是．故答案为：．【题型10 多项式中的规律探究】【例10】（2022秋•北流市期中）观察下列依次排列的多项式：a+b，a2﹣b3，a3+b5，a4﹣b7，…，请写出第9个式子是　a9+b17　．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是a，a2，a3，a4，…，an，第二项依次是b，﹣b3，b5，﹣b7，…，（﹣1）n+1b2n﹣1，所以第9个式子即当n＝9时，代入到得到an+（﹣1）n+1b2n﹣1＝a9﹣b17．故答案为：a9+b17．【变式10-1】（2022秋•黔东南州期末）观察下列多项式：2a﹣b，4a+b2，8a﹣b3，16a+b4，…按此规律，则可以得到第7个多项式是　128a﹣b7　．【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是2a，4a，8a，16a，…2na，第二项依次是﹣b，b2，﹣b3…（﹣1）nbn，则可以得到第7个多项式是128a﹣b7．故答案为：128a﹣b7．【变式10-2】（2022•淮安一模）如图是有关x的代数式的方阵，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为　2　．【分析】由方阵可以看出每一行的每一个式子的第一项为2n﹣1x，第二项是n，由此得出等式求得x的数值即可．【解答】解：∵每一个式子的第二项是2n﹣1x+n，∴第10行第2项的值为29x+10＝1034，解得x＝2，故答案为2．【变式10-3】（2022秋•永安市期末）观察右表，我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，如第1格的“特征多项式”为4x+y，第3格的“特征多项式”为16x+9y，则第n格的“特征多项式”为　（n+1）2x+n2y　．【分析】先根据已知数据找出规律，根据所得的规律得出即可．【解答】解：∵第1格的“特征多项式”为4x+y＝（1+1）2x+12•y，第2格的“特征多项式”为9x+4y＝（2+1）2x+22•y，第3格的“特征多项式”为16x+9y＝（3+1）2x+32•y，∴第n格的“特征多项式为：（n+1）2x+n2y，故答案为：（n+1）2x+n2y．