1．若f(x)＝eq \f(1－x2,sinx)，则f(x)的导数是( )
A．eq \f(－2xsinx－（1－x2）csx,sin2x)
B．eq \f(－2xsinx＋（1－x2）csx,sin2x)
C．eq \f(－2xsinx＋（1－x2）,sinx)
D．eq \f(－2xsinx－（1－x2）,sinx)
2．函数f(x)＝x＋xlnx在(1，1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝0
3．设曲线y＝eq \f(x＋1,x－1)在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,2)D．－2
4．函数y＝(2023－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2023－8x)2B．－24x
C．－24(2023－8x)2D．24(2023－8x)2
二、填空题
5．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________．
6．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
7．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
9．曲线y＝e2x＋1在点(－eq \f(1,2)，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(5)，求直线l的方程．
[尖子生题库]
10．(1)已知f(x)＝eπxsinπx，求f′(x)及f′(eq \f(1,2))；
(2)在曲线y＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使在该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
课时作业(十七) 求导法则及其应用
1．解析：f′(x)＝eq \f(（1－x2）′sinx－（1－x2）·（sinx）′,sin2x)＝
eq \f(－2xsinx－（1－x2）csx,sin2x).
答案：A
2．解析：∵f′(x)＝(x＋xlnx)′
＝1＋x′lnx＋x(lnx)′
＝1＋lnx＋1＝2＋lnx，
∴f′(1)＝2＋ln1＝2，
∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案：B
3．解析：∵y＝eq \f(x＋1,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，
∴y′＝－eq \f(2,（x－1）2)，∴y′|x＝3＝－eq \f(1,2).
∴－a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，即a＝－2.
答案：D
4．解析：y′＝3(2023－8x)2×(2023－8x)′
＝3(2023－8x)2×(－8)＝－24(2023－8x)2.
答案：C
5．解析：f′(x)＝eq \f(1,3x－1)·(3x－1)′＝eq \f(3,3x－1)，∴f′(1)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
6．解析：设P(x0，y0).∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·eq \f(1,x)＝1＋lnx．
∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e).
答案：(e，e)
7．解析：易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×(－eq \f(1,2))＝－1，则a＝2.
答案：2
8．解析：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsinx＋excsx＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin0＋e0cs0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
9．解析：因为y＝e2x＋1，
所以y′＝2e2x＋1，又因为切点(－eq \f(1,2)，1)，
所以k＝2，故曲线在点(－eq \f(1,2)，1)处的切线方程为2x－y＋2＝0，
设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，
由eq \f(|m－2|,\r(5))＝eq \r(5)得，m＝7或－3，
所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
10．解析：(1)∵f(x)＝eπxsinπx，
∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcsπx
＝πeπx(sinπx＋csπx).
∴f′(eq \f(1,2))＝πeeq \s\up6(\f(π,2))(sineq \f(π,2)＋cseq \f(π,2))＝πeeq \s\up6(\f(π,2)).
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知k＝0.
又y′＝eq \f(－2x,（1＋x2）2)，
∴k＝eq \f(－2x0,（1＋x eq \\al(2,0) ）2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即切点坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0.