高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.4 求导法则及其应用导学案

6.1.4　求导法则及其应用

最新课程标准

    1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)

    2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)

3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)

[教材要点]

知识点一　导数的运算法则

1．和差的导数

[f(x)±g(x)]′＝________________.

2．积的导数

(1)[f(x)g(x)]′＝________________；

(2)[Cf(x)]′＝________________.

3．商的导数

′＝________________________.

知识点二　复合函数的概念及求导法则

[基础自测]

1．下列运算中正确的是(　　)

A．若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2

B．已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x

C．已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1

D.′＝

2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝(　　)

A．ex(x＋1)  B．1＋ex

C．x(1＋ex)  D．ex(x－1)

3．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　　)

A.  B．0

C．钝角  D．锐角

4．函数f(x)＝sin(－x)的导函数f′(x)＝________.

题型一　导数四则运算法则的应用

例1　求下列函数的导数．

(1)y＝x－2＋x2；

(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝；

(4)y＝x2－sincos.

方法归纳

1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．

2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

跟踪训练1　已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．

题型二　复合函数的导数

例2　求下列函数的导数．

(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.

　先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．

方法归纳

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

跟踪训练2　求下列函数的导数．

(1)y＝cos(x＋3)；

(2)y＝(2x－1)3；

(3)y＝e－2x＋1.

题型三　导数法则的综合应用

　试说明复合函数y＝(3x ＋2)2的导函数是如何得出的？

[提示]　函数y＝(3x ＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x ＋2的复合函数，

∴yx′＝yu′·ux′＝(u2) ′·(3x ＋2) ′＝6u＝6(3x ＋2)．

例3　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．

　求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．

方法归纳

关于复合函数导数的应用及其解决方法

1．复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．

2．方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．

跟踪训练3　(1)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．

(2)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

6．1.4　求导法则及其应用

新知初探·自主学习

知识点一

1．f′(x)±g′(x)

2．(1)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　(2)Cf′(x)

3.，g(x)≠0，g′(x)≠0

知识点二

x的函数　y＝f(g(x))　·　y对u的导数与u对x的导数的乘积

[基础自测]

1．解析：A项中，由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c，错误；B项中，由y＝2sin x－cos x，则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x，正确；C项中，由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3，错误；D项中，′＝，错误；

答案：B

2．解析：f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.

答案：A

3．解析：∵f′(x)＝exsin x＋excos x，

∴f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)．

∵π<4<π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f′(4)<0.

由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．

答案：C

4．解析：f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′

＝－cos x.

答案：－cos x

课堂探究·素养提升

例1　解析：(1)y′＝2x－2x－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

(3)y′＝.

(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，

∴y′＝2x－cos x.

跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝

＝(x≠0)．

∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得

＋＝0，

解得x0＝.

答案：

例2　解析：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4

＝－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.

(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．

∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′

＝3u2·cos x＋3cos v

＝3sin2x cos x＋3cos 3x.

跟踪训练2　解析：(1)函数y＝cos(x＋3)可以看作函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x＋3)′

＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．

(2)函数y＝(2x－1)3可以看作函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，

由复合函数的求导法则可得

y′x＝y′u·u′x＝(u3)′·(2x－1)′

＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.

(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.

例3　解析：因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，

所以f′(1)＝2a－2，

所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.

因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解得a＝.

跟踪训练3　解析：(1)因为y＝3(x2＋x)ex，所以y′＝3(x2＋3x＋1)ex，所以y′|x＝0＝3，故曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为y－0＝3(x－0)，即y＝3x.

(2)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.

令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，

所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.

则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.

又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

答案：(1)y＝3x　(2)见解析