高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用同步达标检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A．2x－ey＝0 B．2x＋ey＝0
C．ex－2y＝0D．ex＋2y＝0
A [曲线f(x)＝2ln x，f′(x)＝eq \f(2,x)，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，2ln t))，所以切线l的斜率k＝f′(t)＝eq \f(2,t)，
又直线l过原点，所以k＝eq \f(2ln t－0,t－0)＝eq \f(2,t)，得ln t＝1，t＝e．所以k＝eq \f(2,e)，故切线l的方程为y－2＝eq \f(2,e)(x－e)，即2x－ey＝0．故选A．]
2．若f(x)＝eq \f(1－x2,sin x)，则f(x)的导数是( )
A．eq \f(－2xsin x－1－x2cs x,sin2x)
B．eq \f(－2xsin x＋1－x2cs x,sin2 x)
C．eq \f(－2xsin x＋1－x2,sin x)
D．eq \f(－2xsin x－1－x2,sin x)
A [f′(x)＝eq \f(1－x2′sin x－1－x2·sin x′,sin2x)＝eq \f(－2xsin x－1－x2cs x,sin2x)．]
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5)B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)
C．2xln(2x＋5)D．eq \f(x,2x＋5)
B [y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·eq \f(1,2x＋5)·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)．]
4．函数f(x)＝x＋xln x在(1，1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0D．2x－y＋1＝0
B [∵f′(x)＝(x＋xln x)′
＝1＋x′ln x＋x(ln x)′
＝1＋ln x＋1＝2＋ln x，
∴f′(1)＝2＋ln 1＝2，
∴函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0．]
5．下列求导运算正确的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lnx＋\f(3,x)))eq \s\up12(′)＝eq \f(1,x)＋eq \f(3,x2)
B．(x2ex)′＝2xex
C．(3xcs 2x)′＝3x(ln3·cs 2x－2sin 2x)
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,2)＋lg2x))eq \s\up12(′)＝2＋eq \f(1,1－ln 2)
C [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(3,x)))eq \s\up12(′)＝eq \f(1,x)－eq \f(3,x2)，A错误；(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex，B错误；
(3xcs 2x)′＝(3x)′cs 2x＋3x(cs 2x)′＝3xln 3cs 2x－2·3xsin 2x＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln 3·cs 2x－2sin 2x))，C正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln\f(1,2)＋lg2x))eq \s\up12(′)＝eq \f(1,xln 2)，D错误．故选C．]
二、填空题
6．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·eq \f(1,x)＝1＋ln x．
∴k＝1＋ln x0．又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e．
∴y0＝eln e＝e．∴点P的坐标是(e，e)．]
7．已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))sin x＋cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________．
－eq \r(2) [∵f′(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))cs x－sin x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))cs eq \f(π,2)－sin eq \f(π,2)＝－1，
∴f′(x)＝－cs x－sin x，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－cs eq \f(π,4)－sin eq \f(π,4)＝－eq \r(2)．]
8．若函数为y＝sin4x－cs4x，则y′＝________________．
2sin 2x [∵y＝sin4x－cs4x＝(sin2x＋cs2x)·(sin2x－cs2x)＝－cs 2x，
∴y′＝(－cs 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x．]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝eq \r(1－2x2)；
(2)y＝esin x；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(4)y＝5lg2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝ueq \s\up12(eq \f(1,2))，u＝1－2x2，
则y′＝(ueq \s\up12(eq \f(1,2)))′(1－2x2)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ueq \s\up12(－\f(1,2))))·(－4x)
＝eq \f(1,2)(1－2x2)eq \s\up12(－eq \f(1,2)) (－4x)＝eq \f(－2x,\r(1－2x2))．
(2)设y＝eu，u＝sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cs x＝esin xcs x．
(3)设y＝sin u，u＝2x＋eq \f(π,3)，
则yx′＝yu′·ux′＝cs u·2＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．
(4)设y＝5lg2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝eq \f(10,uln 2)＝eq \f(10,2x＋1ln 2)．
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3．
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－eq \f(3,2)．
则f(x)＝x3－eq \f(3,2)x2－3x＋1，从而f(1)＝－eq \f(5,2)．
又f′(1)＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0．
1．某港口在一天24 h 内潮水的高度S(单位：m )随时间t(单位：h；0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5,6)π))，则17点时潮水起落的速度是( )
A．eq \f(π,8) m/hB．eq \f(\r(2)π,8) m/h
C．eq \f(\r(3)π,8) m/hD．eq \f(π,4) m/h
B [由题意，∵S(t)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，
∴v＝S′(t)＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))×eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))×eq \f(π,4)，
当t＝17时，速度v＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×17＋\f(5π,6)))×eq \f(π,4)＝eq \f(π,4)×cseq \f(9π,4)＝eq \f(π,4)×cseq \f(π,4)＝eq \f(π,4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)π,8)．
故选B．]
2．(多选题)下列导数运算正确的有( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝eq \f(1,x2)B．(xex)′＝(x＋1)ex
C．(e2x)′＝2e2xD．(ln 2x)′＝eq \f(2,x)
BC [对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(′)＝(x－1)′＝－x－2＝－eq \f(1,x2)，故错误；
对于B， (xex)′＝x′ex＋x(ex)′＝(x＋1)ex，故正确；
对于C， (e2x)′＝(2x)′e2x＝2e2x，故正确；
对于D， (ln 2x)′＝(2x)′eq \f(1,2x)＝eq \f(1,x)，故错误．故选BC．]
3．曲线f(x)＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为__________．
5x＋y－3＝0 [因为f′(x)＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以f′(0)＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0．]
4．设函数f(x)＝eq \f(sin θ,3)x3＋eq \f(\r(3)cs θ,2)x2＋tan θ，其中θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,12)π))，则导数f′(1)＝________，其取值范围是________．
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3))) [eq \r(2)，2] [f′(x)＝sin θ·x2＋eq \r(3)cs θ·x，
∴f′(1)＝sin θ＋eq \r(3)cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))．
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(5,12)π))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，
∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))∈[eq \r(2)，2]．]
已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))
解得b＝0，a＝－3或a＝1．
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－eq \f(1,2)．
∴a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))．