1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
2．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是( )
二、填空题
5．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
6.
如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于________．
7．求曲线y＝eq \f(1,2)x2－2在点P(1，－eq \f(5,2))处的切线的倾斜角为________．
三、解答题
8．求曲线f(x)＝eq \f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程．
9．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)曲线过点P(3，9)的切线方程．
[尖子生题库]
10．曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
课时作业(十五) 导数的几何意义
1．解析：由导数的几何意义知f′(1)＝2.
答案：D
2．解析：设切点为(x0，y0)，
因为f′(x0)＝eq \f(（x0＋Δx）2－x eq \\al(2,0) ,Δx)＝(2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可知，切线斜率k＝4，
即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.
所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
答案：A
3．解析：因为f′(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0.
答案：B
4．解析：由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．
答案：D
5．解析：令f(x)＝2x2＋4x，
设点P(x0，2x eq \\al(2,0) ＋4x0)，
则f′(x0)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)
＝eq \f(2（Δx）2＋4x0·Δx＋4Δx,Δx)＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，
∴P(3，30).
答案：(3，30)
6．解析：由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1.
答案：1
7．解析：∵点P(1，－eq \f(5,2))在曲线y＝f(x)＝－eq \f(1,2)x2－2上，
∴在点P处的切线斜率为
k＝f′(1)＝limeq \(,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝－1，
又∵倾斜角的取值范围是[0，π)，
∴在点P处的切线的倾斜角为eq \f(3π,4).
答案：eq \f(3π,4)
8．解析：f′(－2)＝eq \f(f（－2＋Δx）－f（－2）,Δx)
＝eq \f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq \f(1,－2＋Δx)＝－eq \f(1,2)，
∴切线方程为y＋1＝－eq \f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
9．解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f([2（x＋Δx）2－7]－（2x2－7）,Δx)
＝l (4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，
则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5).
(2)由于点P(3，9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).
将P(3，9)及y0＝2x eq \\al(2,0) －7代入上式，
得9－(2x eq \\al(2,0) －7)＝4x0(3－x0).
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
10．解析：∵f′(1)＝eq \f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝3，
∴曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3x－2，,x＝2，))则y＝4，令y＝3x－2＝0，
则x＝eq \f(2,3)，故切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为eq \f(1,2)×(2－eq \f(2,3))×4＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)