初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.4 线段的垂直平分线精品复习练习题

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1．（2023七下·文山期末）如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD=2cm，BD=4cm，则AC的长为（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分BC，∴BD=DC，∵AD=2cm，BD=4cm，∴AC=AD+DC=AD+BD=2+4=6cm.
故答案为：A.
【分析】本题运用垂直平分线的性质，将BD转化到DC上，从而求出线段AC的长度.
2．（2023·广西模拟）如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC>90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（ ）
A．2B．1C．4D．3
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=BE+EF+CF=BC=2.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AF=CF，然后根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可以将△AEF的周长转化为BC的长，从而即可得出答案.
3．（2023·福田模拟）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图，A选项作AD平分∠CAB，B、D选项中为过A点作BC的垂线，C选项作BC的垂直平分线得到BC边上的中线AD，
故答案为：A．
【分析】角平分线、垂直平分线的画法。
4．（2023八下·渠县月考）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形一边的两端点距离相等的点在这条边的垂直平分线上，所以到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
5．（2023八上·如东期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB=2CMB．FF⊥ABC．AE=BED．AM=BM
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴EF⊥AB，AE=BE，AM=BM，
则B、C、D说法正确，不符合题意，
AB与2CM的大小不确定，选项A错误，符合题意，
故答案为：A.
【分析】由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，则EF⊥AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AM=BM，据此可判断B、C、D选项；只有当∠ACB=90°的时候，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半才能得出AM=2CM，故AB与2CM的大小不确定，据此可判断A选项.
6．（2023八下·和平期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴2∠ABC=180°-40°=140°，
∴∠ABC=70°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°.
故答案为：A.
【分析】由垂直平分线的性质可得AE=BE，则∠A=∠ABE=40°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可求出∠ABC的度数，然后根据∠CBE=∠ABC-∠ABE进行计算.
7．（2023七下·连平期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，DE⊥AB，
∴AB=2BD.
∵△ABC与△BCE的周长分别为22cm、14cm，
∴AB+BC+EC+AE=22，BC+CE+BE=14，
∴(AB+BC+EC+AE)-(BC+CE+BE)=AB+AE-BE=AB=8，
∴BD=12AB=4.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线的性质可得AE=BE，DE⊥AB，则​​​​​AB=2BD，结合周长的意义可求出AB的值，进而可得BD.
8．（2023七下·福田期末）在△ABC中，ACA．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由图可得AC=CP，
∵PB+PC=BC，
∴PB+AC=BC，A错误；
B、由图可得AC的垂直平分线交BC于点P，
∴PA=PC，
∵PB+PC=BC，
∴PB+PA=BC，B正确；
C、由图可得AP平分∠BAC，C错误；
D、由图可得AB的垂直平分线交BC于点P，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC，D错误，
故答案为：B.
【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
二、填空题
9．（2023八下·西安月考）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为30，BE=5，则△ABD的周长为 .
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E，
∴BC=2BE=10，BD=CD，
∵ △ABC的周长为30 ，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=20.
故答案为：20.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=2BE=10，BD=CD，由△ABC的周长为30 ，得AB+AC=20，然后把△ABD的周长转化为AB+AC，即可求出答案.
10．（2023七下·惠来期末）如图，△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG= ．
【答案】40°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】 解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA=50°，
同理∠GAC=∠GCA=20°，
∴∠GAC+∠EAB=20°+50°=70°，
∵∠B=50°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°-50°-20°=110°，
∴∠EAG=∠BAC-（∠GAC+∠EAB）=110°-70°=40°
故答案为：40°．
【分析】 根据E垂直平分AB，可求得∠EAB=∠EBA=50°，∠GAC=∠GCA=20°，且可求得∠BAC=110°，再利用角的和差可求得∠EAG．
11．（2021七下·莲湖期中）如图，将直角三角板CDE的直角顶点E放在线段AB上，此时DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明AD∥BC．
下面是排乱的说明过程：
①所以AD∥BC；②所以∠ADC+∠BCD＝180；③因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2；④又因为∠DEC＝90°，所以∠1+∠2＝90°．则正确的顺序应是 ．（只填序号）
【答案】③④②①
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2，故③正确；
∵△CDE是直角三角形，∠DEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，故④正确；
∴∠ADC+∠BCD=2（∠1+∠2）=180°，故②正确；
∴AD∥BC，故①正确；
正确的顺序为：③④②①.
【分析】利用角平分线的性质可证得∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2；利用三角形的内角和定理可证得∠1+∠2=90°，再证明∠ADC+∠BCD=180°，然后利用平行线的性质，可证得结论.
12．（2023八下·潜山期末）如图，在△ABC中，∠B=74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD=BC，则∠BAC的度数为 ．
【答案】69°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠C=∠DAC，∵CD+BD=BC，∴AD+BD=BC，又∵AB+BD=BC，∴AB=AD，∠B=∠BDA=74°，∴∠BAD=180°-2×74°=32°，由∵∠BDA是△ADC的一个外角，∴2∠DAC=∠BDA=74°，∴∠DAC=37°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=32°+37°=69°。
故答案为：69°。
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得出DA=DC，再结合已知AB+BD=BC，可得出△ABD是等腰三角形，可求得∠BAD和∠BDA，再根据三角形外角的性质求得∠DAC，最后把∠BAD与∠DAC相加即可求得答案。
三、解答题
13．（2023八下·鄠邑期末）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，求△ABD的周长．
【答案】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵AB=6，AC=9，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=6+9=15．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据中垂线性质得到DB=DC，再根据周长公式等量代换及线段的和差将△ABD的周长转化为AB+AC，代值计算即可得解.
14．（2023七下·鄠邑期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC.求证：AD⊥BC.
【答案】解：连接AE，
∵EF垂直平分AB，∴AE=BE
∵BE=AC∴AE=AC
∵D是EC的中点∴AD⊥BC
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】连接AE，利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AE=BE，可推出AE=AC，利用点D是EC的中点，可证得结论.
四、作图题
15．（2023七下·陈仓期末）如图，已知△ABC中，AB=AC.请用尺规作图法在AC边上找一点P，使△PAB为等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：由题意得，画图如下，则等腰△PAB即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义和线段垂直平分线的作法，即可求出等腰三角形PAB.
五、综合题
16．（2023七下·和平期末）如图，在△ABC中，
（1）作∠ABC的角平分线交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF分别交AB于E，交BC于F，垂足为O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接DF，则DF与边AB的位置关系是 。
【答案】（1）解：BD为所求，EF为所求，如下图，
（2）DF与边AB的位置关系是DF∥AB
【知识点】平行线的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：(2)∵EF是线段BD的垂直平分线 ，
∴BF=DF，
∴∠FBD=∠BDF，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBF，
∴∠ABD=∠BDF，
∴AB∥DF，
故答案为：AB∥DF.
【分析】(1)角平分线的作法：分别以点B为圆心，任意长度为半径画弧与AB、BC相交，分别以这两个交点为圆心，相同长度为半径交于一点，连接这个交点与点B的射线交AC于点D，故BD为∠ABC的角平分线；
垂直平分线的作法：分别以点B、D为圆心，大于12BD的长度为半径画弧，连接两条弧交点的直线 分别交AB于E，交BC于F，故EF为BD的垂直平分线.
(2)利用角平分线的定义和平行线的性质证得∠ABD=∠BDF，进而证明DF与AB互相平行.
17．（2023七下·普陀期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AH是△ABC的角平分线，以AB为边向外作等边三角形ABD，连接CD，分别交AH、AB于点E、F，连接EB．
（1）试说明∠ABE=∠ACE的理由；
（2）求∠DEB的大小．
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AH是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=∠ACB，AH垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC−∠EBC=∠ACB−∠ECB，
∴∠ABE=∠ACE；
（2）解：∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=AC，∠DAB=60°，
∴∠ADF=∠ACE，
由（1）中结论∠ABE=∠ACE，得∠ADF=∠ABE，
在△ADF和△BEF中，由外角定理，得
∠AFE=∠ADF+∠DAB=∠ABE+∠DEB，
∠DAB=∠DEB=60°．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，AH是BC边的中垂线，从而得出BE=CE，再根据△EBC是等腰三角形，得出∠EBC=∠ECB，然后根据等式的性质，即可得出结论；
（2）根据三角形外角的性质可得出：∠AFE=∠ABE+∠DEB=∠ADC+∠DAB=∠ACD+∠DAB=∠ABE+∠DAB，从而得出∠DEB=∠DAB=60°。