四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题（本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个挽项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设全集，集合M满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求集合，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
因为，则，
所以，，，，故B正确，ACD错误
故选：B.
2. 下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：根据根式的性质分析判断；对于B：根据分数指数幂的运算分析判断；对于C：根据指数函数单调性分析判断；对于D：根据幂函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：因为在上单调递减，且，
所以，故C正确；
对于选项D：因为在上单调递增，且，
所以，故D错误；
故选：BC.
3. “”是“，”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据恒成立问题求参，再结合充分必要的定义判断即可。
【详解】,可得单调递减，单调递增，
,所以,
所以.
不能推出,可以得出，是的必要不充分条件.
故选：B.
4. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若且，则不一定成立，例如，故A错误；
若，则不一定成立，例如，故B错误；
若，则，所以，故C正确；
若，，则不一定成立，例如，故D错误；
故选：C
5. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A. 第4秒B. 第5秒C. 第3.5秒D. 第3秒
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
6. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知过原点可排除B，进而可得正确选项.
【详解】因为二次函数开口向下，所以，
所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C
因为过点，所以，所以，
所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；
故选：D.
7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得.
【详解】由题意可知：在上恒成立，
整理得在上恒成立，
因为在上单调递减，则在上单调递减，
且，可得，
又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，
可得在上单调递减，则，可得，
综上所述：a的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围.
【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；
①若时，函数区间上单调递减，则，即，
那么，当时，，，
由题意可得，则有，解得，此时，；
②当时，且当时，，则，，成立，此时；
③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，
由题意可得，则有，解得，此时.
综上所述，.
故选B.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分地对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据偶函数排除选项C；根据单调性判断选项A、B、D.
【详解】对于选项A，是偶函数，
且当时，函数可化为，增函数，故A正确；
对于选项B，是偶函数，且在上单调递增，故B正确；
对于选项C，即不是奇函数也不是偶函数，故C错误；
对于选项D，是偶函数，
当时函数可化为，在上是增函数，故D正确.
故选：ABD
10. 若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是同象函数.已知函数，，则下列函数中与是同象函数的有（ ）.
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AB
【解析】
【分析】根据同象函数的定义，结合各函数的定义域与值域判断即可.
【详解】，，则.
对A，，，则，满足同象函数的定义，故A正确；
对B，，，则，满足同象函数的定义，故B正确；
对C，，，则，不满足同象函数的定义，故C错误；
对D，，，则，不满足同象函数的定义，故D错误；
故选：AB
11. 已知正数满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一判断即可.
【详解】A：因为是正数，
所以，当且仅当时取等号，
即当时，有最大值为，因此本选项不正确；
B：因为是正数，，
所以，
当且仅当时取等号，即当取等号，故本选项正确；
C：因为正数，，
所以，
当且仅当时取等号，即当时， 有最小值，因此本选项不正确；
D：因为是正数，，
所以，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为
因此本选项正确，
故选：BD
12. 已知的定义域为R且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且≠，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数B. C. 的图象关于对称D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，
所以，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，B正确；
，是偶函数，A正确；
因此的图象也关于点对称，C正确；
对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．
故选：ABC．
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，，则的值为______．
【答案】150
【解析】
【分析】应用指数幂的运算性质求目标式的值即可.
【详解】因为，，所以，
故答案为：150．
14. 若函数是上的偶函数，且当时，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由偶函数的性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数是上的偶函数，则，
由当时，，则，
所以.
故答案为：
15. 已知一元二次不等式的解集为，则得最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.
【详解】的解集为，故为方程的两个根，
且，
（当且仅当时等号成立）.
故答案为：.
16. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法、构造函数法证得是奇函数，根据函数单调性的定义证得在上单调递减，由此化简不等式并求得其解集.
【详解】依题意，，有，
令，得，
令，得，
令，得，
构造函数，则为奇函数，则，
任取，则
，
由于，所以，所以，
所以，所以在上单调递减，则在上单调递减.
由得，
，
，
由得
，
则，
所以，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.
四、解答题（本愿共，6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知全集，，.
（1）求；
（2）求
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据分式的性质、一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集和补集的定义进行求解即可.
【小问1详解】
，
即，
又因为，
所以；
【小问2详解】
因为，，
所以，
所以或.
18. 已知是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，试用单调性的定义证明函数在上单调递减．
【答案】（1），；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知结合，求出，再验证作答.
（2）由（1）的结论求出函数的解析式，再利用单调函数的定义推理论证作答.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，则，
而，解得，此时，
，即函数是奇函数，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，而，则，，
，
因为，则，有，即，因此，
所以函数在上单调递减.
19. 已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）令，求在的值域.
【答案】（1）的值为，函数的解析式为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质即可求解；
（2）由（1），得，令利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，，
所以函数在的值域为.
20. 今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产x千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.
（1）写出2023年利润W（万元）关于产量x（千件）的函数；（利润＝销售总额－总成本）
（2）当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
【解析】
【分析】（1）由题可得，进而结合条件可得利润（万元）关于年产量（千件）的函数；
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分段求函数的最值即得.
【小问1详解】
由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
小问2详解】
当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
21. 已知函数且在上的最大值与最小值之差为.
（1）求实数a的值；
（2），若，求不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，结合指数函数单调性运算求解；
（2）根据题意可得：是奇函数且为增函数，利用函数的单调性和奇偶性解不等式.
【小问1详解】
①当时，上单调递增，
则，
所以，解得或（舍去）；
②当时，上单调递减
则，
所以，解得或（舍去）；
综上所述：或.
【小问2详解】
因为，由（1）可知：，则，
可知：的定义域为，
因为，则为奇函数，
又因为在上单调递增，则在上单调递增，
综上所述：在R上是奇函数且为增函数，
因为，可得，
则，解得或，
所以不等式的解集为.
22. 己知偶函数.
（1）求实数k的值；
（2）若且对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；
（3）设，若方程有且只有一个解，求p的取值范围.
【答案】（1）
（2）4 （3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质，代入，即可求解；
（2）首先求函数，再代入不等式，并通过换元，转化为，恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值问题，即可求解；
（3）首先方程整理为，再换元，转化为方程在上只有1个解，即可求的取值范围.
【小问1详解】
因为函数为偶函数，则，有，
，
得恒成立，得；
【小问2详解】
由（1）知，，
，得或，
即，
不等式，为，
即，恒成立，
设，当时，，
设，
，
因为，所以，，则，
则，即
所以函数在上单调递增，所以，
即，恒成立，
则恒成立，即，
设，，
设，
则，
因为，所以，，则，
所以，
所以在上单调递增，当时的最小值为，
所以，实数的最大值为；
【小问3详解】
由（1）知，，
令，则，
整理为，
设，则，
可得，整理为，
原题转化为关于的方程在上只有1个实数根，则有，
当时，即时，方程为，得，符合题意，
当时，即时，方程的根为或，
由题意可得或，得或，
综上可得的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数解析式，性质，不等式恒成立，以及函数零点问题，第三问的关键是变形等式，转化为在上只有一根，后面的问题迎刃而解.