四川省内江市第二中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第二中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共14页。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设，，．则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.
详解】，，，
，.
故选：D.
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由全称命题的否定是存在命题，即可得出答案.
【详解】命题“”的否定为：.
故选：A.
3. 在下列图象中，表示函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的概念一一判断.
【详解】对A，存在一个，有无数个与之对应，所以不是函数图象，A错误；
对B，对定义域内的任意，有且仅有唯一的与之对应，是函数图象，B正确；
对C，存在一个，有两个与之对应，所以不函数图象，C错误；
对D，存在一个，有两个与之对应，所以不是函数图象，D错误；
故选:B.
4. 若函数，则（ ）
A. -2B. 2C. -4D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，得到，由此求出即可.
【详解】∵函数，∴，
.
故选：C.
5. 已知：“”，：“”，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】对于，令，可得，即，故或，
解得或，故是的必要不充分条件.
故选：A
6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A. 若a＜b，则B. 若a＞b＞0，则
C. 若a＞b，则D. 若，则a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.
【详解】当时，，选项A错误；
，所以，所以选项B错误；
时，，所以选项C错误；
时，，所以选项D正确.
故选：D
7. 根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第72条规定：驾驶自行车、三轮车必须年满12周岁，驾驶电动自行车和残疾人机动轮椅车必须年满16周岁.高一学生小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据小明骑车去学校的过程及时间与学校距离的关系分析即可.
【详解】由题意可得随时间增加离学校的距离变小，排除A，
且中间有停留即有段时间增加距离不变，排除D，
又停留后加速行驶，而C项直线的倾斜程度不变可排除，B项倾斜程度变大，单位距离用时变小，符合题意.
故选：B
8. 已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数B. 方程有四个实数根
C. 在区间上单调递增D. 有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数的图象，结合图象对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为函数，，
由可得：或，
或，解得：或，
所以，
即，
作出函数的图象如下：

由图象可知，关于轴对称，是偶函数，故A正确；
方程有四个实数根，即与的图象有四个交点，由图可知，故B正确；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C错误；
当时，有最大值为，无最小值，故D正确
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BCD
【解析】
【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.
【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；
B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；
D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；
故选：BCD.
10. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义结合函数的图象性质即可求解.
【详解】对于A, 设,
,则函数在单调递减,单调递增,
所以是偶函数，且在区间上单调递增,故A正确;
对于B, 为二次函数,开口向下,对称轴为轴,
所以函数是偶函数,且在,单调递减,故B错误;
对于C, 为反比例函数,关于原点对称,是奇函数,
在单调递增,故C错误;
对于D, 为二次函数,开口向上,对称轴为轴,
所以函数是偶函数,且在,单调递增,故D正确;
故选:AD.
11. 当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可．
【详解】当时，，此时满足，两个集合之间构成“全食”，符合条件．
当时，，，
当时，，满足，构成“全食”，此时；
当时，，构成“偏食”，此时．
综上所述，a的取值集合为．
故选：ABD.
12. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，
所以，故A对，
若，则，得，故B错，
若，则或，因为，所以或，故C正确，
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，若，则实数a等于_________
【答案】3
【解析】
【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.
【详解】因为，所以，即，
解得或，
经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾；
时，，满足题意.
故答案为：3
14. 已知，则的值______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
15. 已知函数的定义域为 则的定义域为_________________
【答案】
【解析】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
16. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性得到不等关系，解不等式组得到答案.
【详解】函数是上的增函数，则，解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】根据集合间的运算直接得解.
【小问1详解】
由，，得；
【小问2详解】
由，，得或，
故或.
18. 已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
（1）若命题是真命题， 求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
小问2详解】
解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
19. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求a，b的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的系数，即可求出a，b的值；
（2）由（1）可得，结合基本不等式求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得， 即，.
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
所以的取值范围为.
20 已知二次函数满足，且
（1）求函数的解析式.
（2）当时，求函数的最大值（用表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到，将解析式代入得到，得到答案.
（2）确定函数的单调区间，考虑，，三种情况，分别计算最大值得到答案.
【小问1详解】
，，所以，，
即，
所以，解得 ，所以.
【小问2详解】
，开口向下，在上单调递增，在 单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上所述：
21. 2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产等优质产业.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．
（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？
（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．
【答案】（1）第年开始盈利
（2）最大为万元
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求得，根据题意得到李承包的土地到第年的利润为，令其大于零，解出不等式即可；
（2）求得年平均利润的函数，利用基本不等式求最大值即可.
【小问1详解】
由题意得，解得，所以．
设小李承包的土地到第年的利润为万元，
则，
由，得，解得．
故小李承包的土地到第年开始盈利．
【小问2详解】
设年平均利润为万元，
则，
当且仅当时，等号成立．
故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．
22. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.