四川省内江市第一中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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1、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分120分，考试时间120分钟.
2、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.
3、考试结束后，监考人将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 古希腊数学家希帕克斯使用相似三角形定理估算地球半径为3944.3英里（约合6348千米），与用现代技术测量结果仅少了17英里.可将6348千米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．从上面看到的这个几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下面各时刻是轴对称图形的为（ ）
A B. C. D.
5. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图：

当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是： ，则5288用算筹可表示为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知，点在边上，以为直径的圆与边相切于点，若，，则线段的长为（ ）
A B.
C. D.
9. 若实数，分别满足，，则下列等式正确的有（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，给出下列说法：
①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点坐标为；
③，两点之间的距离为5；④当时，值随值的增大而减小
其中正确说法的个数为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
11. 写出一个使得关于的一元二次方程有实数根的的取值_________.
12. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为，则________，且该直线与反比例函数图象的另一个交点的坐标为________.
13. 若两个不相等的实数，满足，则_________.
14. 如图，是边长为的等边三角形，、为线段上两动点，且，过点、分别作、的平行线相交于点，分别交、于点、．现有以下结论：①；②当点与点重合时，；③；④当时，四边形为菱形，其中正确结论的序号为__________.
三、解答题：共64分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）解不等式组：
16. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．内江市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明市提名城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
17. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会在成都圆满举行，中国代表队获得了103金，40银，35铜，总奖牌178枚，取得了优异成绩．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店在大运会开始前计划购买A，两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克种食材共需280元．
（1）求A，两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于种食材千克数2倍，当A，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
18. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，若居民休憩区域设在文化活动室墙外距墙米的区域内，当太阳光线与地面的夹角为时，避阳篷能否使得休憩区完全避免阳光直射？说明理由.（参考数据：，，）

19. 某学习小组根据老师的一个例题再进行了自主探究，发现了一些新问题：已知：如图1所示，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点，

（1）组员小明用量角器度量后猜想，请你先判断小明的猜想是否正确，再用所学知识说明理由；
（2）组员小亮又作了的平分线交于点，如图2，小亮感觉到线段和的长度一样，通过度量后长度后发现是一样的，小亮提出了问题：这是必然还是巧合？小组成员进行了讨论，请你也思考思考，并说明理由；
（3）组员小刚在小亮的基础上，连接，如图3，又发现了一组全等三角形（其中一个三角形是以DE为边），请写出这组全等三角形，并给出证明．
20. 如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与轴交于、两点（在的左侧），，，点为线段上的动点，过作交于点.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是直线上一动点，点是抛物线上一动点，当点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）求面积的最大值，并求此时点坐标．