四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟满分：150分
第I卷选择题（满分60分）
一、选择题（每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A.B.C.D.
2.设集合，，若，则（ ）
A.-3B.3C.-5D.5
3.下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A.B.C.D.
4.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.函数的图象大致是（ ）
A.B.
C.D.
6.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足（为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据：，）
A.43年B.53年C.73年D.120年
7.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数函数有四个不同的零点，且，则下列四个选项中正确的选项为（ ）
A.的范围为B.C.D.
二、选择题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（ ）
A.B.C.D.
10.设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为1B.的最小值为
C.的最大值为2D.的最大值为2
11.已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A.在上为减函数B.的最大值是1
C.的图象关于直线对称D.在上
12.已知方程与的根分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A.B.C.D.
第II卷 非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若，，，则的最小值为______.
14.若函数是定义在上的奇函数，当时，，则______.
15.已知《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则______.
16.已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知集合，.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知角终边上一点的坐标为，其中.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
19.（12分）设函数是增函数，对于任意，都有.
（1）证明是奇函数；
（2）关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围.
20.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
21.（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第）（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
（1）求的解析式；
（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
22.（12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数无零点，求的取值范围；
（3）设，（其中实数）.若函数有且只有一个零点，求的取值范围.内江六中高2026届高一上第二次月考
参考答案
1.B
【详解】分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
分针拨快钟，则分针所转过的弧度数为.
2.C
【详解】因为，所以，，则，即.故选：C
3.C
【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项，而在是减函数，在是增函数，故答案为：C.
4.B
【详解】根据的单调性，解可得，，所以.
解可得，，所以.
显然所表示的范围，在所表示的范围之内，
所以，“”是“”的必要不充分条件.
5.D
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
6.B
【详解】由题意得：，解得，所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
7.B
【详解】为奇函数，不等式，即，因为为奇函数，
所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：
D
【详解】有四个不同的零点，即方程有四个不同的解.
的图象由图可知，，，，，故A错误.，故B错误。由图像可知，，即，则C错误。D选项中，。故D正确
9.ABD
A选项，因为，所以，所以，所以A选项正确.
B选项，因为，所以即，所以B选项正确.
C选项，若，，，，所以C选项错误.
D选项，因为，所以在R上是减函数，
又，所以，所以D选项正确.
10.BC
【详解】因为为正实数，，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1，则A错误；
，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，则B正确；
因为，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为2，故C正确；
因为，由A项知，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2，故D错误，
11.BCD
【详解】因为当时，，则函数在上递减，
又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错；
因为函数是偶函数，是奇函数，所以，，则，所以，则，即，所以以为周期；则，所以关于直线对称，因此当时，；当时，，则，又，所以；因为偶函数关于轴对称，所以当时，；综上，当时，；又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；
因为，函数为偶函数，所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；
因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，所以在上也满足恒成立；故D正确；
12.CD
根据题意，设和与分别交于点，B结合和互为反函数，图像关于对称，且也关于对称。故A、B关于原点对称且关于对称。则.A选项错误；
且由A、B关于对称且B在图像上可知：，，故，D正确；
设，，且单调递增，则，B错误；
若成立，则有，即有，即有，故选项C成立。
13.8【详解】由已知，，，当且仅当时取等号，所以，从而，即的最小值是8.
14.【详解】由题可知，由于为奇函数，所以.
15.【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和，则，
所以.所以，即，
解得或（舍去），又，所以，所以.故答案为：.
16.【详解】，分类讨论：
①当时，，函数的最大值，，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是.
17.【详解】（1）当时，.
所以，，
.
（2）当时，有，则；
当时，可得，或，解得或.
综上可得，实数m的取值范围是.
18.【详解】（1）解：由，可知，，.
由题意可得，则，又，
所以，，故，.
（2）原式，
因为，所以原式.
19.【详解】（1）对于任意都有，
令，则；
再令，则
，所以函数是奇函数.
（2）令，则，不等式
可化为，即，
又函数在上是增函数，，即，
又该不等式的解集中恰有3个正整数，.
20.【详解】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，
则，所以，，则，因此，.
（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，
则，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，由已知可得，
解得.因此，不等式的解集为.
21.【详解】（1）由题可知，解得.
所以（，）
（2）由题可得每件该产品的销售利润为，
所以第天的日销售利润，
即，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以.
故当时，取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小.
【详解】（1）是偶函数，，，
即，所以，
即，即，所以，解得.
（2）由（1）知，
所以，即，
，，令，即，
因为无零点，即关于的方程无解，
即与无交点，所以，
即当时，无零点，故满足条件的的取值范围是.
（3）函数的零点即方程的根，
而
.
设，.（*）
因为.
①当，则.问题等价于关于的（*）方程在有唯一实根；
又因为，则由图像可知只需且.解之得.