四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟满分：150分
第I卷选择题（满分60分）
一、选择题（每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分针转一周为分钟，转过的角度为，得到分针是一周的六分之一，进而可得答案．
【详解】∵分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨快是顺时针旋转，
∴分针拨快10分钟，则分针所转过的弧度数为.
故选：B
2. 设集合，，若，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集结果判断元素与集合的关系即可求参数.
【详解】因为，所以，则，即．
故选：C
3. 下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【详解】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而在是减函数，在是增函数，
故答案为：C.
4. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性以及绝对值的定义，求解两个不等式，根据不等式解的范围的大小，即可得出答案.
【详解】根据的单调性，解可得，，所以.
解可得，，所以.
显然所表示的范围，在所表示的范围之内，
所以，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B，
故选：D
6. 今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A. 年B. 年C. 年D. 年
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定函数的奇偶性、单调性，再借助性质求不等式得解.
【详解】函数的定义域为R，函数在R上单调递减，
因此函数在R上单调递减，又，
即函数是奇函数，不等式，
于是，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8. 已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且，则下列四个选项中正确的选项为（ ）
A. 的范围为B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数与的图象，数形集合可判断A选项；利用二次函数的对称性可判断B选项；利用可得出，结合及绝对值的性质可判断C选项；分析可得，利用双勾函数的单调性可判断D选项.
【详解】作出函数与的图象如下图所示：
当时，，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
故实数的取值范围是，A错；
对于B选项，因为二次函数图象的对称轴为直线，
由图可知，点、关于直线对称，则，的值不确定，B错；
对于C选项，由图可知，，
由可得，即，即，
所以，，C错；
对于D选项，由C选项可知，，
由可得，则，
因为双勾函数在区间上单调递减，
因为，则，D对.
故选：D.
二、选择题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质、函数的单调性等知识求得正确答案.
【详解】A选项，因为，所以，所以，所以A选项正确.
B选项，因为，所以即，所以B选项正确.
C选项，若，，所以C选项错误.
D选项，因为，所以在R上是减函数，
又，所以，所以D选项正确.
故选：ABD
10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小值为1B. 的最小值为
C. 的最大值为2D. 的最大值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式结合1的妙用，逐项判断即可.
【详解】因为为正实数，，
则，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1，则A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，则B正确；
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，
的最大值为2，故C正确；
因为，
由A项知，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2，故D错误，
故选：BC.
11. 已知函数是偶函数，是奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上为减函数B. 的最大值是1
C. 的图象关于直线对称D. 在上
【答案】BCD
【解析】
【分析】
先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD正确.
【详解】因为当时，，则函数在上递减，
又函数是偶函数，所以在上为增函数；故A错；
因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，则，
所以，则，即，
所以以为周期；
则，所以关于直线对称，
因此当时，；
当时，，则，又，所以；
因为偶函数关于轴对称，所以当时，；
综上，当时，；
又是以为周期的函数，所以，，则，故B正确；
因为，函数为偶函数，
所以，因此，所以的图象关于直线对称；即C正确；
因为时，显然恒成立，函数是以为周期的函数，
所以在上也满足恒成立；故D正确；
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：
求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可.
12. 已知方程与的根分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】AD选项，可变形为，构造，由函数单调性得到，故，；B选项，由函数单调递增和零点存在性定理得到B错误；C选项，由AB选项结论，作差法比较出大小.
【详解】AD选项，由题意得，，
可变形为，
又，
令，则，
又在上单调递增，故，
由可得，，A选项错误，D正确；
B选项，由于，，
结合在上单调递增，
由零点存在性定理得，B错误；
C选项，由AD选项可知，，由B选项得，
故，
故，C正确；
故选：CD
第II卷非选择题（满分90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若，，，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值．
【详解】由已知，∴，
，当且仅当时取等号，
所以，从而，即的最小值是8.
故答案为：8.
14. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题可知，
由于为奇函数，所以.
故答案为：
15. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为和，根据条件，可得，平方得，再求出即可.
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a，
则，所以．
所以，即，
解得或（舍去），又，
所以，所以.
故答案为：.
16. 已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【详解】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，得出，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；
（2）分以及两种情况讨论求解，即可得出答案
【小问1详解】
当时，．
所以，，
．
【小问2详解】
当时，有，则；
当时，
可得，或，
解得或．
综上可得，实数m的取值范围是．
18. 已知角终边上一点的坐标为，其中.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，角终边上一点的坐标为，利用三角函数的定义求解；
（2）利用由原式，再分子分母同除以求解.
【小问1详解】
解：由，
可知.
由题意可得，
则，又，
所以，
故，.
【小问2详解】
原式，
因为，
所以原式.
19. 设函数是增函数，对于任意，都有.
（1）证明是奇函数；
（2）关于的不等式的解集中恰有3个正整数，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，结合赋值法，即可证明；
（2）首先化简不等式，并根据函数的单调性化简不等式为，根据不等式的解集，以及条件，即可求解实数的取值范围.
【小问1详解】
对于任意都有，
令，则；
再令，则
，所以函数是奇函数.
【小问2详解】
不等式可化为，
即，
又函数在上是增函数，即
，即，
若，则，解集中没有3个正整数，
若，不等式的解集为空集，也不成立，
若，则，该不等式的解集中恰有3个正整数，
.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）；
（2）函数在上是增函数，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
【小问2详解】
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
【小问3详解】
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
21. 2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第天每件的销售价格（单位：元）满足，第天的日销售量（单位：千件）满足，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件.
（1）求的解析式；
（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第天的日销售利润（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小.
【答案】（1）（，）
（2），开幕式后的第30天的日销售利润最小
【解析】
分析】（1）由题可知，求出即可得解；
（2）先求出每件该产品的销售利润，再根据日销售利润即可求出的解析式，再根据基本不等式和函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
由题可知，解得，
所以（，）；
【小问2详解】
由题可得每件该产品的销售利润为，
所以第天的日销售利润，
即，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上为减函数，
所以此时，
综上所述，当时，取得最小值714，
即开幕式后的第30天的日销售利润最小.
22. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若函数无零点，求的取值范围；
（3）设，（其中实数）．若函数有且只有一个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义及对数的运算即可求解；
（2）先结合（1）得到，则函数无零点等价于与无交点，进而即可求出的取值范围；
（3）依题意可得，设，，则(*)，再分，，三种讨论问题等价于关于的（*）方程有唯一实根，进而即可求出的取值范围．
【小问1详解】
由是偶函数，则对于，都有，
即，
即，即，即，所以，解得．
小问2详解】
结合（1）知，
所以，即，
又，则，
令，即，
因为无零点，即关于的方程无解，
即与无交点，所以，
即当时，无零点，故满足条件的的取值范围是．
【小问3详解】
由函数的零点即方程的根，
而，
，
，
设，，则(*)，
令，，
又，则，
①当时，则，所以问题等价于关于的（*）方程在有唯一实根；
又因为，，
则由二次函数图象可知只需且，得；
②当时，则，得，不合题设；
③当，则，所以问题等价于关于的（*）方程在时有唯一实根；
又因为，
则由二次函数图象可知只需且，无解．
综上，．