人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品课时训练

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1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的
角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 SKIPIF 1 < 0 必须是锐角或直角，即 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记
作a⊥b.
2．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面 SKIPIF 1 < 0 互相垂直，记作l⊥ SKIPIF 1 < 0 .直线l叫
做平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，平面 SKIPIF 1 < 0 叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
3．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
4．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面 SKIPIF 1 < 0 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面 SKIPIF 1 < 0 引垂线PO，过垂足O和斜足A的
直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.

(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 SKIPIF 1 < 0 .
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 SKIPIF 1 < 0 .
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 < SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
④直线与平面所成的角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
5．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
6．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型1 异面直线所成的角】
【方法点拨】
(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的
角.
(2)证明：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).
(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就
是所求异面直线所成的角.
【例1】在三棱锥中，平面ABC，且，，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023春·安徽·高二开学考试）如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·贵州毕节·统考一模）图（1）是由正方形和正三角形组合而成的平面图形，将三角形沿折起，使得平面平面，如图（2），则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·河南郑州·统考一模）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【题型2 线线垂直的判定】
【方法点拨】
通过异面直线所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，来证明线线垂直；
通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探索；
通过线面垂直的关系来证明线线垂直.
【例2】（2022·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．ABB．CDC．D．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A．2条B．4条
C．6条D．8条
【变式2-2】（2022·高一课时练习）如图，为所在平面外一点，，，则形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【变式2-3】（2022·广东·高三学业考试）如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【题型3 线面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
【例3】（2022·上海·高二专题练习）在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（ ）
A．所在平面B．所在平面
C．所在平面D．所在平面
【变式3-1】（2022春·辽宁·高一期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（2022秋·宁夏石嘴山·高二阶段练习）如图，是圆柱的母线，是圆柱的底面直径，是圆柱底面圆周上的任意一点（不与，重合），则下列说法错误的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．三棱锥的四个面都是直角三角形
【变式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
【题型4 直线与平面所成的角】
【方法点拨】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.
(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.
【例4】（2023春·四川达州·高二开学考试）在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022春·山东聊城·高一阶段练习）在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2022秋·广西玉林·高二阶段练习）在长方体中，，，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-3】（2022春·广西桂林·高二期中）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【题型5 直线与平面垂直的性质定理的应用】
【方法点拨】
(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面
面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.
(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.
【例5】（2023春·甘肃天水·高三开学考试）如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，，
(1)证明：AC⊥PD；
(2)若，求四棱锥P—ABCD的体积．
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【变式5-2】（2022秋·山东潍坊·高二阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【变式5-3】（2023·湖北·模拟预测）如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为．
(1)若证明：；
(2)求三棱柱的体积与表面积之比的最大值．
【题型6 平面内的射影问题】
【方法点拨】
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，
因此确定这个点的射影位置是解题的关键.
【例6】（2022秋·上海静安·高二期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O，则O为△AEF的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【变式6-1】（2022秋·山东潍坊·高二开学考试）若P是所在平面外一点，且，，则点P在所在平面内的射影O是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【变式6-2】（2022春•瑶海区月考）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（ ）
A．垂心B．重心C．外心D．内心
【变式6-3】（2022·高一课时练习）下列四个命题：
①所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面上的射影H在的内部，则H在的平分线上；
②P是所在平面外一点，点P到三个顶点的距离相等，则点P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一点，点P到三边的距离相等，则点P在平面上的射影O是的内心；
④P是所在平面外一点，点，，两两垂直，且，则点P在平面上的射影O是的中心.
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4