专题12 椭圆、双曲线、抛物线小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
椭圆离心率
，
双曲线离心率
，
椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）
双曲线焦点三角形面积公式：
抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，
故该双曲线的离心率为，解得.
故选：A.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的方程可得右焦点的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由题意可得直线，的斜率之积，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出直线，的斜率之积，可得参数的关系，求出的中点的轨迹方程，进而求出的最小值．
【详解】由椭圆可得，，

所以，即，所以右焦点；
因为，所以，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，
设，，
则，解得，
这时的中点在轴上，且的横坐标为，
这时的最小值为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，
联立，整理可得：，
△，即，
且，，所以，，
则，
可得，符合△，
可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，
即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，
综上所述：的最小值为，
故选：D．
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式即可求得答案.
【详解】设双曲线的右焦点为，则，
则，

为右支上的点，取的中点为B，连接，则，
设，则，则，
在中，，
即，
又直线与以线段为直径的圆相交，故，
设，则，
则需使，解得，
即双曲线离心率的范围为，
即的离心率的取值范围为，
故选：D
4．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因为，则，
设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
5．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点.

因为，所以，
因为，
所以，所以，
故，得.
因为，所以，故点，
将代入双曲线中，
即，化简得，
，
解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
6．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点，再结合双曲线的方程和定义求，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】因为点A在第一象限，由，可得，
则，
点在双曲线上，则，即，
可得，
可得在点处的切线方程为，
令，解得，
又因为，则，
所以，
即点，
设双曲线C的半焦距为，则，，
因为，则，整理得，
则，
可得，
且点为双曲线C在第一象限的右支上一点，则，
可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以双曲线C的离心率.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义，的面积，直角△中的锐角三角函数和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，
又，在直角△中，，
且.
在△中，则，故.
在△中，，
由正弦定理，，则，
∴由双曲线定义，，又，，则，
∴，即.
∵为直角，易知为钝角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又，将代入，解得.
∴双曲线C的方程：.
故选：A
【点睛】关键点点睛：建立起，，之间的关系，通过方程组进行求解.作为选择题，可以适当运用解题技巧：当得到，之间的第一个关系时，可通过将选项中的，依次代入检验，快速选出正确选项.
8．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为2B．双曲线C的离心率为
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出b的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积，对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可.
【详解】设双曲线C的半焦距为，
因为双曲线C的焦点在x轴上，且，
则其中一条渐近线方程为，即，且，
则到渐近线的距离，可得.
对于选项A：因为，且，
可得，解得，
所以的面积为，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为，故B错误；
对于选项C：因为，可得，
所以，故C错误；
对于选项D：设，则，
因为，即，解得，
所以，故D正确；
故选：D.
【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
9．（2023·福建漳州·统考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】
设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故选：D.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.
10．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法
求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值；
2．焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
二、多选题
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）

A．若的方程为，则
B．若的方程为，且，则
C．分别延长交于点，则点在的准线上
D．抛物线在点处的切线分别与直线，所成角相等
【答案】BCD
【分析】分别求出、的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可判断选项A；利用角平分线的性质求点的坐标，判断选项B；联立方程组求点的坐标，可判断选项B；求出抛物线在处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线及直线所成角的正切值，可判断选项D．
【详解】对于选项A、B：
若的方程为，则，又，
直线的斜率，直线的方程为：，
联立，得，
，，，
，所以A选项错误；
由，，得直线的方程为，直线的方程为，

若，则点在的平分线上，点到直线和到直线的距离相等，设，
则有，由，解得，所以，B选项正确；
对于选项C：抛物线，焦点坐标，准线方程，
设，，由，得， 即，由，得，
又直线的斜率，直线的方程为：，直线的方程为：，
分别延长交于点，由得，即点横坐标为-2，所以点在的准线上，C选项正确；
对于选项D：设抛物线在处的切线方程为：，
联立，得，
由，解得．
该切线与直线所成角的正切值为．
设该切线与直线所成角为，
则，
该切线与直线所成角的正切值与该切线与直线所成角的正切值相同，
即抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等，D选项正确．
故选：BCD.
12．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为.设，，是直线上的动点，直线，分别与E的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．
C．以为直径的圆经过点D．当时，平行于轴
【答案】ACD
【分析】根据题意，得出，，即可求出双曲线标准方程判断A；设，表示出，，即可判断B；利用直线与双曲线相交得出坐标，即可判断C；利用，得出的值，即可判断D.
【详解】由题知，，，，解得，所以双曲线方程为，A正确；
由A知，，，设，则，，
所以，B错；
由上述知，直线方程为，直线方程为，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
联立，得，因点是异于的上支点，
所以，代入直线方程得，即，
则，，
所以，即，所以以为直径的圆经过点，C正确；
当时，即，，所以代入坐标得，
所以平行于轴，D正确.

故选：ACD
13．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
【答案】ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C选项，由双曲线定义可判断.
D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
14．（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．当点在第一象限时，
D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【分析】依据题意确定切点不在双曲线上，根据勾股定理可计算，故可判断出不正确，正确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；
当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，
正确，错误.

故选：
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，过双曲线右支上一点作双曲线的切线分别交两渐近线于两点，交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点，使得，且，则双曲线的离心率为2或
【答案】AB
【分析】对于A,先证明双曲线上一点的切线方程为，与双曲线的渐近线进行联立，可得坐标，可得到，结合即可判断；对于B，由A选项可得点是线段的中点，即可判断；对于C，由即可判断；对于D，通过可得，则能算出，结合余弦定理即可求解
【详解】对于选项，先求双曲线上一点的切线方程，
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.
由得：，所以，
则在点的切线斜率为，
所以在点的切线方程为：，
又因为，所以在点的切线方程为：，
当为右顶点时，切线方程为，易得也满足，
不失一般性，设点是双曲线在第一象限的一点或双曲线的右顶点，是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为，
联立，
所以点，同理可得：，
则，
又因为，所以，即：，故A项正确；
对于选项B，由A项知，，
所以点是线段的中点，所以，故B项正确；
对于选项，因为在点的切线方程为：，
令得，所以点，
则，
当点在顶点时，仍然满足，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
又因为，所以，解得：，
即：，代入得，
所以
，
，
因为，所以，
所以，
解得：或6，所以离心率为或，故D项错误.
故选：AB
【点睛】结论点睛：双曲线上一点的切线方程为，对椭圆、抛物线也有类似结论．
16．（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．对称轴方程是
C．实轴长为D．离心率为
【答案】ABD
【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.
【详解】时，，当且仅当即时取等号，
时，，
当且仅当即时取等号，故A正确；
依题意，此双曲线两条渐近线为和，，
由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，
故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；
由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为
，，
故此双曲线的实轴长即为，故C错误；
依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，
则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
17．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点，准线与轴交于点，过点作不垂直于轴的直线与交于，两点．设为轴上一动点，为的中点，且，则（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．
D．若正三角形的三个顶点都在抛物线上，则的周长为
【答案】AC
【分析】设直线的方程为，联立方程，利用根与系数的关系及求k，可判断A，由点差法及垂直关系，抛物线的定义可得判断B，由可得平分，据此可判断C，根据正三角及抛物线的对称性求出DE坐标即可判断D.
【详解】如图，

对于选项A，设过焦点的直线的方程为，，，
由，得，∴，，
由可知，代入，得，，
由，得，∴，则，故A正确．
对于选项B，，设点的坐标为，则，．
由得，所以，则直线的斜率为．
因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为．
令，则，所以点的坐标为，
则．
由抛物线的定义可知，，
所以，故B错误．
对于选项C，因为
，
所以直线与直线关于轴对称，即平分，
所以，则．
整理得，故C正确．
对于选项D，设，因三角形为正三角形，
则，
又，
则.
因，则.
则，则.
得的周长为，故D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：处理抛物线中焦点弦问题，根据抛物线的定义，转化为坐标问题是常用方法之一，涉及处理中点弦问题，点差法是重要方法，恰当使用可快速得出直线斜率与中点的坐标关系，注意直线关于y轴对称可转化为直线倾斜角互补即直线斜率互为相反数.
18．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（不在轴上），外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则（ ）
A．最大时，B．的最小值为2
C．椭圆的离心率等于D．的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，再根据，代入进而即可求解；
对于B，根据，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；
对于C，运用角平分线定理即可求解；
对于D，由正弦定理可得，再又结合A可得，从而得到，再根据题意得到，进而即可求解．
【详解】对于A，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A正确；
对于B，过点作，垂足为点G，
又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，
由，
又，同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；
对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，即，故C错误；
对于D，设，，，
由正弦定理可得，即，
则，即，
因为，
又结合A有，所以，即，所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，即，所以，
故，故D正确．
故选：ABD．

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．
19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用联立求得点坐标，结合向量数量积的运算即可判断选项A；结合抛物线定义即可判断选项CD；设，，根据即可判断选项B.
【详解】对于A，代入，
解得，，
即，，
则，
所以，A正确；
对于C，如图，，
所以不可能是正三角形，C正确；

对于D，由题知，，
当共线时，取等号，
又点到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，D正确.
对于B，当直线的斜率大于时，
根据上图再作，
因为，所以设，，
因为都在上，
所以，，
，，
所以，
则；
当直线的斜率小于时，同理可得.
综上，直线的斜率为，B错.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：直线与抛物线的位置关系问题，从以下几个角度分析：
（1）抛物线定义的结合，来分析线段的相等关系；
（2）斜率与倾斜角正切值的联系；
（3）数形结合思想的应用.
20．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
【答案】BCD
【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.

【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
三、填空题
21．（2023·云南·校联考模拟预测）已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，
的中点在渐近线上，
则，又，
所以，
所以，所以.

故答案为：.
22．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可.
【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，
因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，
整理得，联立，得，，所以，
又，所以，，
所以.
故答案为：.
23．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】不妨设，根据焦半径公式求出，从而求出，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出，从而求出抛物线方程，再求出焦点到直线的距离，即可得解.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，由抛物线定义知，，，，或（舍去），
当时，，，，
解得或（舍去），抛物线的方程为，焦点，准线方程为，
焦点到直线的距离，
抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．
故答案为：
24．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
【答案】/
【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，
在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.
又轴，，所以，
又抛物线，则，所以，
所以抛物线，点.
因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，
易得，设点，则，
则，
又直线，可化为，
则点到直线的距离，
所以.
故选：B.
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线的方程，联立求出点的纵坐标，再利用直线与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.
【详解】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，

显然直线不垂直于y轴，设直线，，
由得点的纵坐标，由得点的纵坐标，
由消去x得，
于是，化简得，
直线与x轴交点的横坐标为，
所以的面积.
故答案为：
26．（2023·海南海口·校考模拟预测）设双曲线 E：的离心率为 ，直线过点和双曲线的一个焦点，若直线与圆的相切，则
【答案】
【分析】先设出直线的方程，由与圆的相切，可得关于的齐次式，进而可求.
【详解】不妨设直线过点和双曲线的右焦点，
则直线的方程为，即，
由直线与圆相切，可得，
整理得，，
又，
所以，即，
所以，即，
解得或，
又，所以，所以.
故答案为：
27．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为，
因为，所以，所以，
设圆与交于点，由阿氏圆性质，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球，
当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，
所以点在面内的轨迹为，
因为在中，，所以，
所以，所以点在面内部的轨迹长为，
同理，点在面内部的轨迹长为，
当点在面内部时，如图3所示，因为平面，
所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，
截面圆与分别交于点，且，
所以点在面内的轨迹为，且，
综上，点的轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
28．（2023·重庆巴南·统考一模）已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，联立方程组，由条件证明，由此可得，再求，求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
【详解】由已知直线的斜率存在，且不为，
故可设直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以
因为，
所以，所以，
所以，
又异于坐标原点，所以，所以，
所以，
所以直线的方程为，
且
所以直线与轴的交点为，
所以点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，
消得，，
方程的判别式，
设，则，
所以，
由已知，
所以四边形ACBD面积，
设，则，，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，此时，
设，可得，，
所以当时，即时，取最小值，最小值为，
所以四边形ACBD面积的最小值为.
故答案为：.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
29．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
【答案】8
【分析】先设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，.
【详解】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，
联立，可得，易得，
设，则，
则，
则，
，
由正弦定理得，，
因为，，
所以，，即，
又由焦半径公式可知，
则，即，
即，解得，
则，解得，
故，
当时，同理可得到.

故答案为：8
【点睛】方法点睛：解三角形中，当条件中有角平分线时，可利用正弦定理得到角平分线的性质，将角的关系转化为边的比例关系，再进行求解.
30．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：