专题02 复数小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
虚数单位：，规定
虚数单位的周期
复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部
复数的分类
复数相等：若
共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，
复数的几何意义：复数复平面内的点
复数的模：， 则 ；
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·重庆巴南·统考一模）已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的除法法则求复数，再由共轭复数定义求.
【详解】∵，
∴．
故选：D.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的定义和复数的除法计算.
【详解】由，根据共轭复数的定义，，
于是.
故选：B
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数模的公式及复数的运算法则求得，利用共轭复数的概念得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：A．
4．（2023·云南曲靖·校考三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的除法运算法则求出复数的代数形式，从而得到，再由复数的乘法运算法则即可求出．
【详解】因为，
所以，
故选：B.
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】首先利用除法运算求复数，再根据复数的几何意义判断选项.
【详解】因为，故，在复平面内对应的点为,
位于第二象限.
故选:B.
6．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知是数满足，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的运算化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，则，则，
因此，对应的点位于第一象限.
故选：A.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设，其中，为实数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】对已知式子化简，再利用复数相等的条件可求出，的值
【详解】，
∴，
，.
故选：A
8．（2023·河北·校联考三模）已知复数的共轭复数为，若的实部为1，且满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．－1D．1
【答案】D
【分析】设，，由此即可得出，则可求出的值，即可选出答案.
【详解】设复数，，
则，，，
，解得，
所以，
所以的虚部为1.
故选：D
9．（2023·广东深圳·统考二模）已知复数是虚数单位，若，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算求解即可.
【详解】，解得.
故选：A
10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【分析】运用复数的除法运算法则和复数的概念进行求解即可.
【详解】，
要使为实数，需满足，所以.
故选：B.
11．（2023·广东梅州·统考三模）复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】利用复数除法求出复数，再利用模长公式求解.
【详解】因为，所以，
即，所以.
故选：C
12．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知复数，，若是实数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算及复数的基本概念建立关于m的方程求解．
【详解】解：复数，，
若为实数，
则，即．
故选：B．
13．（2023·福建三明·统考三模）复数的共轭复数为，（为虚数单位），则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】利用复数的运算法则结合共轭复数的定义计算即可
【详解】由已知可得，所以，故.
故选：C
14．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一，四象限D．第二、三象限
【答案】D
【分析】根据复数的计算法则求出复数，再由其几何意义选择即可.
【详解】设，所以，
所以，解得，所以，
故选：D.
15．（2023·广东·校联考模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得，
所以.
故选：C.
16．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知为虚数单位，且复数满足，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法、乘方运算求出，再根据共轭复数的概念和模长公式可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
17．（2023·福建漳州·统考模拟预测）复数满足，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据复数的模长公式即可化简求解.
【详解】设,由得，所以，
解得，所以，
故选：B
18．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先对化简，然后求出复数，从而可求出的共轭复数在复平面内对应的点，进而可得答案.
【详解】由，得，
所以，对应的点为.
的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D.
19．（2023·河北张家口·统考三模）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的概念可得答案.
【详解】
.
依题意得，得.
故选：B
20．（2023·浙江·校联考模拟预测）设复数满足，为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先求得，再根据除法法则，最后根据复数的几何意义可解.
【详解】依题意可得，
故在复平面上对应的点为，在第四象限，
故选：D．
21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知复数的共轭复数为，且，则下列各式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算，对选项逐一计算判断即可.
【详解】∵，
∴，
，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：C．
22．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.
【详解】
，
故选：A.
23．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）若复数，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】先化简，再由复数的加法运算求出，由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以
所以，
所以.
故选：D.
24．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（ ）
A．+iB．+iC．iD．i
【答案】A
【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．
【详解】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．
点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．
故对应的复数为．
故选：A
25．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
【答案】D
【分析】、分别表示点与、之间的距离，记，，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.
故选：D.
二、多选题
26．（2023·海南·海南中学校考三模）已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．
C．复数在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为，则
【答案】AB
【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD，根据复数的乘法计算即可求解B.
【详解】由已知，其对应点坐标为，C错；，A正确；
由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，
因此，B正确；对应点坐标为，因此,故D错误，
故选：AB.
27．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z，，是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.
【详解】若，设，所以，
则不一定为，故A错误；
若，设，所以，
则不一定为，故B正确；
若，设，，
则，，故C正确；
若，设，，，
，所以，
即，不一定为，故D错误；
故选：BC.
三、填空题
28．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知复数，满足，，则的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据题意设出复数，结合复数的模相关知识转化为函数关系求解最值.
【详解】设，
则，
所以，即，，
，
当时，则取得最大值，最大值为.
故答案为：4
29．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知复数满足，则 ．
【答案】3
【分析】通过方程解出，再求出即可求解.
【详解】因为，由求根公式可得，，
所以.
故答案为：3
30．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则 .
【答案】
【分析】依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以也是关于的方程的一个根，
所以且，
所以，，，
所以.
故答案为：