专题10 三角函数与恒等变换小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
特殊角的三角函数值
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系对已知式子化简可求得结果
【详解】由，得，
所以，
因为，所以，，
所以，所以，
故选：C
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据五角星的性质可得，再利用诱导公式结合二倍角公式求解即可.
【详解】由中间的五边形内角和，则.
又由图可得，五角星五个锐顶角都为，两个与一个为同一个等腰三角形的内角，
可得，则，则
.
故选：C
3．（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为，所以
.
故选：A.
4．（2023·全国·模拟预测）若函数的图象与函数的图象有共同的对称轴，且在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可求出的对称轴，再根据轴对称图形对称区间的单调性的性质将区间置于两相邻对称轴之间，从而可求得的最大值.
【详解】由，得，
所以的图象的对称轴为，
令，得，令，得，
因为对称轴两侧的单调性相反，且在上单调递减，
所以在直线的右侧，在直线的左侧，
所以，所以的最大值为，
故选：D
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）若，满足，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换化简计算即可.
【详解】，∴
∴，
∴
易知，∴，所以，
故选：A.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，将问题转化为，只有1个零点，则（），从而讨论可求出结果.
【详解】令，因为函数在上恰有1个零点，即转化为，只有1个零点，
故可得（），即（），
又，要使上述方程组有解，则需（），
所以（），故，当时，，当时，，
故选：B；
7．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数图象的对称性得，再根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，，
所以.
故选：B
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值.
【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，
设函数的最小正周期为，则，
由题意得，解得，故，得，即，
的图象过点，即，
∵，则，

∴，解得．
∴
∴.
故选：A
9．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式化简方程，结合特殊角的函数值求解即可.
【详解】因为，所以，
即，所以，或，因为，所以，
故选：B.
10．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）函数（，）的部分图象如图所示，若在上有且仅有3个零点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得，然后根据在上有且仅有3个零点列不等式，从而求得的取值范围，进而求得正确答案.
【详解】由图可知，
由于，所以，
令，
得，由得，
依题意，在上有且仅有3个零点，
故当取值最小时，有，
解得，所以的最小值为.
故选：A
二、多选题
11．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
所以，
所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．
故选：AB.
12．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若时，方程有实根，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可得出，求出函数在上的值域，即可得出实数的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
则，
当时，，则，
由得，可得，所以，，解得，
故选：CD.
13．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，，则正确的是（ ）
A．B．是函数的零点
C．函数是非奇非偶函数D．为图象的一条对称轴
【答案】ACD
【分析】由三角恒等变换将函数化简得，根据正弦型三角函数的值域、零点、奇偶性、对称性逐项判断即可.
【详解】因为，所以，故A正确；
由于，故不是函数的零点，故B不正确；
，且，故函数是非奇非偶函数，故C正确；
由于，所以为图象的一条对称轴，故D正确.
故选：ACD.
14．（2023·重庆巴南·统考一模）已知函数，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在上单调递减D．在上单调递增
【答案】ABC
【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；
【详解】选项A正确；
所以函数的最小正周期为选项B正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质，（余弦函数对应的单调递增区间），函数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，下列结论中正确的有（ ）
A．若，则是的整数倍
B．函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移单位得到
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
【答案】CD
【分析】利用诱导公式可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，
则或，
可得或，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数的图象可由函数的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标变为原来的，再向左平移个单位得到，B错；
对于C选项，因为，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
对于D选项，当时，，
所以，函数在上单调递增，D对.
故选：CD.
16．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
【答案】BD
【分析】先化简函数，得，根据正弦型函数的图像性质研究周期性、平移、值域等问题.
【详解】，
所以的最小正周期为，故A错误；
把的图象向左平移个单位长度，所得函数为，是偶函数，
所以图象关于y轴对称，故B正确；
当时，，
当，即时，最大值为，
所以m的最小值为，故C错误；
令，解得，
当时，的一个对称中心为，
故时，有，故D正确.
故选：BD.
17．（2023·广东梅州·统考三模）函数的部分图象如图所示，若，，，，恒成立，则实数的值可以为（ ）

A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】首先根据图象确定，根据周期的范围确定的范围，再结合图象上的两个特殊的值，根据三角函数的性质确定函数的单调递增区间，最后根据子集关系，列式求的取值.
【详解】
由题图知，所以，
，①，②
两式相减得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
由，得，
当时，函数的单调递增区间是，
因为，，，，恒成立，
所以，所以.
故选：AB
18．（2023·黑龙江大庆·统考二模）（多选）函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．函数的周期是
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在上单调递减
D．该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
【答案】AC
【分析】观察图象可得函数的最小值，周期，且，由此可求函数解析式，根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断．
【详解】观察图象可得函数，，的最小值为，故
设函数的最小正周期为，由图象知，
则，故，故A正确；
由可得，又，
所以，
所以，
因为，故B错误；
由，可得，，
所以的单调递减区间为，
取知，函数在上单调递减，
，故C正确；
的图像向左平移个单位后得到，故D错误．
故选：AC．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数，，其中，则（ ）
A．与的图像关于直线对称
B．与的图像关于点对称
C．当与在区间上单调性相反时，的最大值为1
D．当与在区间上单调性相同时，的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据余弦函数的单调性、对称性、图象变换逐项判断即可.
【详解】，所以与的图像关于直线对称，故A正确；
，与的图像关于点对称，故B正确；
如图，

函数的图像为函数的图像向左平移得到，函数的图像为函数的图像向右平得到，所以与的图像关于轴对称，
且的每一个极值点对应的一个零点，易知在轴右侧的第一个极大值点为；
若与在区间上单调性相反,则有，即，故C不正确；
若函数在轴右侧的第一个极小值点为上单若与在区间上单调性相同，则有，且，即，故D正确.
故选 ：ABD.
20．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】化简函数为，，结合大致图象判断各选项即可求解.
【详解】函数，，
大致图象如下：

由图可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的图象关于对称，故B正确；
函数的最小值为，故C正确；
函数在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
21．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测） ．
【答案】/0.75
【分析】法1：利用特殊角的三角函数值代入；法2：利用降幂公式求解；
法3：利用余弦定理及正弦定理，再取特殊角代入求解.
【详解】法1：.
法2：.
法3：余弦定理，
根据正弦定理，，取三角形三个内角分别，
则．
故答案为：.
22．（2023·浙江金华·校考三模）已知、均为锐角，且，，则 .
【答案】/
【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得、角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.
【详解】因为，，即，
所以，
又，即，则，
又、均为锐角，所以，，
所以，，
所以.
故答案为：
23．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用二倍角正弦，结合的平方关系，将所求式子化为关于的齐二次分式，化弦为切即可得解.
【详解】
,
故答案为：.
24．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】利用换元法和二次函数性质即可求得的值域.
【详解】
令，则，
则的值域转化为，的值域，
，则，
则的值域为，则函数的值域为.
故答案为：
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，其中，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据，，可得，，，进而可得当且仅当时，等式成立，可得，，，，进而求解.
【详解】因为，，，
所以，，，
所以，，，
因为，
所以当且仅当时，等式成立，
所以，，，，
即，，，，
所以，，
所以当，，时，取最小值.
故答案为：.
26．（2023·山东德州·三模）若为锐角，且，则 ．
【答案】2
【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.
【详解】因为，
所以
，
故答案为：2
27．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知，都是锐角，，则= .
【答案】2
【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.
【详解】法1：.
，
.
法2：由，令，
则，
则，
故答案为：2
28．（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可.
【详解】因为函数为R上的奇函数，
所以，所以，所以，
又，所以的最小值为.
故答案为：
29．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在中，若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先由题证明得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.
【详解】首先证明：在△ABC中，有,
在△ABC中，由余弦定理得，
由正弦定理得，
令，
上述两式相加得
所以
=,
当即时取等.
故答案为：.
30．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：