专题13 基本不等式小题综合-备战2024年数学新高考一轮复习之专题知识归纳和题型技巧大综合

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冲刺秘籍
基本不等式
，当且仅当时取等号
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
拓展1 几个重要平均数的大小关系
时有，，当且仅当时取等
拓展2 权方和不等式
若则当且仅当时取等.
冲刺训练
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，
由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：D
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
【答案】D
【分析】由题意结合对数运算推出，从将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意正实数满足，
则，
故，
当且仅当，结合，即时取得等号，
即的最小值是18，
故选：D
3．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
故选：B.
4．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
故选：C
5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
7．（2023·湖南·校联考模拟预测）设，为正实数，，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等号成立条件得出，即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以 ，即，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，此时，
所以，
故选：D．
8．（2023·重庆·统考模拟预测）设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】由可得 ，
故圆的直径是4，
所以直线过圆心，即，
又，
当且仅当，即，即 时，等号成立.
故选：D.
9．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比，从而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，
所以，得，解得，
因为，所以，则，即，故，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
10．（2023·江西·校联考二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
二、多选题
11．（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，讨论，可得的范围，再利用的范围求出的范围.
【详解】,
当时，，当且仅当或时等号成立，得，
当时，，当且仅当或时等号成立，得，
当时，由可得或
综合可得，故C正确，D错误；
，
当时，，故A错误，B正确；
故选：BC.
12．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.
【详解】选项A：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C：因为,,，故C错误；
选项D：因为,,,故D错误．
故选:AB．
13．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，故C错误；
因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A，取即可判断；对于B，求得，再结合基本不等式即可判断；对于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于D，，再利用函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，取，满足，但不满足， A错；
对于B，，
即，所以，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C，，令，所以，
即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D，，
令，由C选项可知，，
而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，D对.
故选：BCD.
15．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值B．可以取到0
C．有最大值D．有最小值2
【答案】AD
【分析】根据“1”的技巧及均值不等式判断A，由均值不等式可得判断B，由均值不等式等号成立的条件判断C，由重要不等式判断D.
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
因为时，，而，得出，时等号成立，故不成立，故B错误；
因为，当且仅当
，即时等号成立，而，故等号不成立，故C错误；
由知，，当且仅当时，即时等号成立，故D正确.
故选：AD
16．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
17．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为，，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：因为，，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
对于C：因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
18．（2023·广东东莞·统考模拟预测）下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
【答案】AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于，由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故错误；
对于，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；
对于，由可得，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故正确．
故选：．
19．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.
【详解】对于A，由，得，
当且仅当时等号成立，A正确；
对于B，由，得且，
令，则，解得，解得，
得在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，B正确；
对于C，当时，满足，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
20．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为4
C．的最小值为2D．的最大值为4
【答案】AC
【分析】根据基本不等式求解出最值，检验即可判断各项.
【详解】对于A项，因为，，，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
所以，故A正确；
对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为4，故D不正确.
故选：AC.
三、填空题
21．（2023·山东·校联考模拟预测）设，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
，
当且仅当取等号，即取等号，
所以的最小值为6.
故答案为：6
22．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】18
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，则，又，是正数，
所以，
当取得等号，即且时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
23．（2023·辽宁辽阳·统考二模）若，则的值可以是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，
所以．
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则.
故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）
24．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】，且，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
25．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果.
【详解】已知正数 满足 ,
所以 ,所以:
则:
，当且仅当时，取等号；
要使 恒成立, 只需满足 即可,
故 .
故答案为: .
26．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.
【详解】因为，所以,
∴,
所以= ，当 ，即时取等号，的最小值为 .
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是利用“1的代换”进行转化.
27．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知正数满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将等式化简变形，得到的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
【详解】根据题意，由可得，
即
所以；
又因为均是正数，令，则
所以，
令，
则
当且仅当，即时，等号成立；
所以
所以的最小值为;
即当时，即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出的表达式，根据可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.
28．（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.
29．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解得，再根据取等号的条件可得，判断出的范围，进而判断得的范围，可得，可得所求最小值.
【详解】，
当且仅当，即时取“＝”，
此时，∵，，
∴，∴，∴，
∴原式，此时，，．
故答案为：
【点睛】求解本题的关键是将原式变形为，根据基本不等式求最值，由取等号的条件，化简得，从而求解的范围.
30．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知正数a，b满足，则 .
【答案】
【分析】利用基本不等式知，令，利用导数研究函数的单调性可知，进而可得，结合已知可得，由取等条件即可求解.
【详解】因为a，b都为正数，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
构造函数，，
求导，令，得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
可知在处取得最大值，故，即
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，又，
所以，且，，
即，所以
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不等式，解题的关键是构造函数，，从而证得，再结合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题.
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号