高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线当堂检测题

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4．BCD [设|PQ|＝m，由△PQF2为等边三角形，可得|PF2|＝|QF2|＝|PQ|＝m，由双曲线的定义可得|QF1|＝|PF1|－|PQ|＝|PF2|＋2a－|PQ|＝2a，因为|QF1|＝|QF2|，所以m＝2a，所以∠PF1F2＝30°，cs 30°＝OF1QF1＝c2a＝32，即e＝ca＝3，故B正确；由b2＝c2－a2＝3a2－a2＝2a2，即b＝2a，则渐近线方程为y＝±2x，故A错误；若点M(6，－6)在双曲线C上，可得6a2－6b2＝1，结合b＝2a，解得a＝3，b＝6，所以双曲线方程为x23－y26＝1，故C正确；由上面的分析可得a＝3，b＝6，c＝3，F1(－3，0)，直线PF1的方程为y＝33(x＋3)，可令x＝0，解得y＝3，即Q(0，3)，故D正确．故选BCD．]
5．C 6．46 7．[2，＋∞) 8．y＝x＋1
9．解：(1)因为双曲线C的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，
所以ca=3， a=3， a2+b2=c2，解得a=3b=6c=3 ，
所以双曲线C的标准方程为x23－y26＝1．
(2)双曲线x23－y26＝1的右焦点为F2(3，0)，所以直线l的方程为y＝33(x－3)．
由x23-y26=1 y=33x-3，得5x2＋6x－27＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
所以|AB|＝1+13x1+x22-4x1x2＝1+13×-652-4×-275＝1635．
或由5x2+6x-27=0，得x=-3或95 ，
则AB=1+1395+3=1635
10．D
11．AC [由题意知2a＝6，2c＝10，即a＝3，c＝5，因为b2＝c2－a2，所以b2＝25－9＝16，解得b＝4，所以右焦点为F(5，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±43x.对于选项A，由点F向双曲线C的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C的渐近线上的点到点F距离的最小值，由点到直线的距离公式可得d＝±43×5-0-12+±432＝4，故选项A正确；对于选项B，因为a＝3，c＝5，所以双曲线C的离心率e＝ca＝53，故选项B错误；对于选项C，当双曲线C上的点为其右顶点(3，0)时，此时双曲线C上的点到点F的距离最小为2，故选项C正确；对于选项D，过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为A(－3，0)，B(3，0)，则AB为过点F的最短弦，且|AB|＝6，故选项D错误．故选AC．]
12．ABD [选项A中，因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
又因为2c>2a，4a>2a，
所以∠PF1F2＝30°，
所以cs ∠PF1F2＝16a2+4c2-4a22×4a×2c＝32，
解得c＝3a，即e＝3，故A正确；
选项B中，e2＝c2a2＝a2+b2a2＝3，所以b2a2＝2，所以ba＝2，所以渐近线方程为y＝±2x，故B正确；
选项C中，由e＝3，得2c＝23a，又|PF1|2＝16a2，|PF2|2＋|F1F2|2＝4a2＋4c2，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，因为|AF2|＝c＋a＝(3＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，所以C不正确；
选项D中，联立x+2y-2=0，x2a2-y22a2=1，
得2(2－2y)2－y2＝2a2，
所以7y2－16y＋8－2a2＝0，
所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D正确．故选ABD．]
13．3215
14．解：(1)联立方程y=kx-1，x2-y2=1，
消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则1-k2≠0， Δ=4k2+81-k2＞0，
解得－2＜k＜2，且k≠±1．
∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2k1-k2，
x1x2＝－21-k2，
∴|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2·-2k1-k22+81-k2＝1+k28-4k21-k22．
又∵点O(0，0)到直线y＝kx－1的距离d＝11+k2，
∴S△AOB＝12·|AB|·d＝128-4k21-k22＝2，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±62．
∴实数k的值为±62或0．
15．解：(1)由题意得，16a2-3b2=1，ca=52， a2+b2=c2，解得a2＝4，b2＝1．
∴双曲线C的方程为x24－y2＝1．
(2)假设存在定点Q.设定点Q(t，0)，
当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，联立x24-y2=1，x=my+1，
得(m2－4)y2＋2my－3＝0．
∴m2－4≠0，
且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0，
解得m2＞3且m2≠4．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－2mm2-4，y1y2＝－3m2-4，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝－2m2m2-4＋2＝-8m2-4，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2+m(y1＋y2)＋1＝－3m2m2-4－2m2m2-4＋1＝－4m2+4m2-4＝－4－20m2-4.
QM·QN＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2
＝－4－20m2-4＋t·8m2-4－3m2-4＋t2
＝－4＋t2＋8t-23m2-4，
由QM·QN为常数，
得8t－23＝0，即t＝238，
此时QM·QN＝27364．
当直线l斜率为0时，QM·QN＝27364．
∴在x轴上存在定点Q238，0，
使得QM·QN为常数．