四川省内江市威远中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市威远中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用集合的交集运算即可.
【详解】由，，
则.
故选：C
2. 已知命题，总有，则为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，总有
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，直接得出结果即可.
【详解】命题，总有，则为，使得.
故选：A.
【点睛】本题考查全称命题的否定 ，注意全称命题的否定为特称命题，属于基础题.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.
【详解】解：，，
∴．
故选：D
5. 若，则的最小值（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立
详解】，当且仅当时取等号.
故选：C
6. “关于x的不等式的解集为”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析】根据一元二次不等式恒成立，结合逻辑关系即可求解.
【详解】当时，不等式为，符合题意，
当时，要使不等式的解集为，则需满足，解得，
综上可得：不等式的解集为时，，
由于是的真子集，
所以不等式的解集为”是“”的必要不充分条件，
故选：B
7. 设正实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.
【详解】由已知可得，，，
作出的图像如图所示：
它们与交点的横坐标分别为，
由图像可得，
故选：B
8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.
【详解】由可得或，
当时，；当时，.
作出函数、、的图象如下图所示：
由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，
所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.
故选：A.
二、多选题（本题共4个小题，每题5分，有多个选项，共20分）
9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
10. 已知函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】AD选项，可以看出，从而得到在上恒成立，A错误，D正确；B选项，当时满足要求；C选项，当时满足要求.
【详解】AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减，
故，此时上恒成立，A错误，D正确.
当时，，选项D符合．
当时，的定义域为，
B选项，可以看出且为偶数，当时，满足要求，选项B正确．
C选项，当时，满足，选项C正确．
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间为
B. 若是定义在上的幂函数，则
C. 函数在内单调递增，则的取值范围是
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A、C由指数函数、复合函数单调性判断、求解；B由幂函数的性质判断；D换元法求解析式，注意定义域.
【详解】A：，在上递增，在上递减，
在定义域上递增，故的单调递增区间为，错；
B：由是定义在上的幂函数，则必过，故，对；
C：由，则上递增，上递减，
在定义域上递增，故在内单调递增，则，
所以的取值范围是，对；
D：令，则，故，
所以且，错.
故选：BC
12. 设函数，其中表示x，y，z中的最小者．下列说法正确的有（ ）
A. 函数为偶函数
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数解析式，再逐项分析判断即得.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
对于A，观察图象得，当时，，
当时，，，当时，，
，因此，，为偶函数，A正确；
对于B，当时，，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，
经过平移后，的图象总是在图象的下方，即恒成立，B正确；
对于C，当时，的图象可看做是的图象向右平移两个单位而得，
而经过平移后，函数的图象有部分在函数的图象下方，C错误；
对于D，，，令，，
则当时，，当时，，
当时，，因此，成立，即当时，，D正确．
故选：ABD
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.
13. 函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数过定点进行求解.
【详解】因为，
所以恒过的定点的坐标为，
故答案为：.
14. 设函数，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得，进而求得.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
15. 已知函数，且，那么=_________.
【答案】-12
【解析】
【分析】代入，整体代换求值即可.
【详解】由题意，，即，
故,
故答案为：-12
16. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】分、两种情况讨论即可.
【详解】函数是由
和复合而成，
当时单调递增，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递增，且在上恒成立，
的对称轴为
所以解得：，
当时单调递减，
若函数（，且）在区间上单调递增，
则在上单调递减，且在区间上恒成立，
的对称轴为
所以解得：，
综上所述：a的取值范围是，
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18题-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合 或.
（1）若 ，求；
（2）若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由集合的补集和交集的定义可得结果；
（2）利用充分条件的定义，结合子集的定义得出关于a的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若 ，则或，
所以或.
【小问2详解】
“” 是 “” 的充分条件
①当时，，即时，满足题意；
②当时，依题意有或，解得：，
综上，的取值范围是.
18. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，
（1）求函数的解析式，并在答题卡上作出函数的图象；
（2）直接写出函数的单调递增区间；
（3）直接写出不等式的解集.
【答案】（1）（可与另一段合并），作图见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得函数的解析式，并画出图象.
（2）根据图象写出函数的单调递增区间；
（3）根据图象写出不等式的解集.
【小问1详解】
由已知，，
当时，，
∴，
∴，
∴（可与另一段合并）.
图象如下图所示.
【小问2详解】
由图可知：单调递增区间为：，.
【小问3详解】
由图可知：不等式的解集为：.
19. 已知函数与互为反函数，记函数.
（1）若，求x的取值范围；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）
（2）最大值为6
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，根据一元二次不等式结合指数函数单调性解不等式；
（2）换元令，结合二次函数求最值.
【小问1详解】
因为与互为反函数，则，
故
不等式，即为，
即，解得，故，
所以x的取值范围是.
【小问2详解】
令，则，
函数等价转化为，
则，
所以当时，取得最大值，
故当时，函数的最大值为6.
20. 2022年8月，奥密克戎变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．
（参考数据：，）
【答案】（1）函数更合适，解析式为；
（2）14.
【解析】
【分析】（1）将已知的两组数据代入模型求参数，再用第三组数据验证即可判断；
（2）由题设，利用指对数关系及对数运算求的最小值，即可得答案.
【小问1详解】
若选，将，和，代入，
得，解得，故，
将代入，，不符合题意，
若选，将，和，代入，
得，解得，故，
将代入，可得，符合题意，
综上所述，选择函数更合适，解析式为.
【小问2详解】
设至少需要个单位时间，则，即，
两边同时取对数可得，，则，
，的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．
21. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；
（2）将问题转化为在区间上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；
【小问1详解】
当时，，
，即，则，，与同解，
得，
即解集为.
【小问2详解】
由题意：关于x的方程在区间上恰有一个实数解，
则，即，
故在区间上恰有一个实数解，且，
即，解得：，
又，即，
综上所述：；
22. 已知是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域．
（3）若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题意得，化简可求出的值；
（2）对两函数变形得，，再根据的图象可以由函数的图象通过平移得到，可得，然后根据指数函数的性质可求出的值域；
（3）令，由其在上递增，结合题意可得，则将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，从而可求出的取值范围．
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，得，
所以，，得；
【小问2详解】
由（1）得，
，
因为函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数的值域为；
【小问3详解】
由（1）得，
令，
因为在上递增，所以在上递减，
所以在上递增，
因为函数在上的值域为，
所以，
所以，
因为，所以关于的方程有两个不相等的正实根，
所以，解得，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，考查函数图象平移问题，第（3）问解题的关键是根据函数的单调性结合题意将问题转化为关于的方程有两个不相等的正实根，然后利用根的分布求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
1
2
3
4
5
6
…
y（万个）
…
10
…
50
…
250
…