四川省内江市资中县第二中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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1. 集合的一个子集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简集合，结合选项可得答案.
【详解】因为，所以的子集有，；
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式下大于等于0，分母不为0，对数的真数大于0列出不等式组，解出即可.
【详解】由解得，
所以定义域为，
故选:A.
【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，考查了学生的计算能力，属于基础题.
4. 若且，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】ACD举反例确定错误，B作差法可判断.
【详解】A，时，，A错误；
B，，B正确；
C，时，，C错误；
D，时，，D错误.
故选：B
5. 设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
7. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得It=ert=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以r=3.28−16=0.38，所以It=ert=e0.38t，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，
所以t1=ln20.38≈≈1.8天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令, 则，
当时，单调递增，且，
当时，，当时单调递增，
则函数在上单调递增，符合题意；
当时，的对称轴为，
由题意，
当时，表示开口向下的抛物线，对称轴为，
在上单调递减，不符合题意，
综上，.
故选：A.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 设正实数，满足，则（ ）
A 有最小值4B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式可进行判断.
【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误；
选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确；
选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ACD
10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A.
B. 函数有两个不同零点
C. 函数有最小值，无最大值
D. 函数的增区间为
【答案】AC
【解析】
【分析】由换元法求出，求可判断A；令求出的值可判断B，由二次函数的性质求出的单调性和值域可判断C、D.
【详解】令，所以，
所以，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，令，解得：或，
因为，所以函数有一个不同零点，故B不正确；
对于C，，
当时，有最小值，无最大值，故C正确；
对于D，，
所以的单调增区间为：，故D不正确.
故选：AC.
11. 下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由题意知,当时,的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.
【详解】由题意知,当时,的图象是凹形曲线.
对于A,函数的图象是一条直线,则当时,有,不满足题意；
对于B,函数的图象是凹形曲线,则当时,有,满足题意；
对于C,函数的图象是凸形曲线,则当时,有,不满足题意；
对于D,在第一象限内,函数的图象是一条凹形曲线,则当时,有,满足题意.
故选:BD.
12. 下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的充分必要条件
B. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或
C. 不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是.
D. 已知，其中a，b为常数，若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合并集及子集的概念、充分条件、必要条件判断A，由不等式的解得出关系，再解不等式即可判断B，分离参数根据不等式恒成立求解判断C，利用函数奇偶性求函数值判断D.
【详解】对A，，，故“”是“”的充分必要条件，故A正确；
对B，不等式的解集是，则，则可得，
所以，解得，故B错误；
对C，由原不等式分离参数可化为在上恒成立，故，
因为，所以，故C正确；
对D，，令，，
因为，所以为奇函数，
由，可得，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 设函数，则=_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数定义先计算，再计算．
【详解】由已知,
.
故答案为：4．
14. 已知幂函数在区间上单调递减，则函的图象过定点____________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用幂函数的定义和性质，求得，得到，再结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由函数为幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在单调递增，不符合题意，舍去；
当时，可得在单调递减，符合题意，
此时函数，令，即，可得，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
15. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】令，由题设易知在上为增函数且恒大于零，根据二次函数的性质列不等式组求的取值范围.
【详解】由题设，令，而为增函数，
∴要使在上是增函数，即在上为增函数且恒大于零，
，可得，
∴的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与相交.函数.下列关于函数的说法正确的有______.
①函数是偶函数； ②函数在单调递减；
③方程恰有两根； ④函数的最大值为2.
【答案】①②④
【解析】
【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断.
【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，
则，即，
令，即，得，
如图，画出函数的图象，

函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，
，无实数根，故①②④正确，③错误.
故答案为：①②④.
四、解答题（共70分）
17. 化简求值
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知定义在R上的函数满足：.
（1）求函数的表达式；
（2）当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值.
【答案】（1）
（2）最小值为1，最大值
【解析】
【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得出函数解析式；
（2）根据已知得出.根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系可知，判定得，为一元二次方程的两个解，求根得出，表示出，结合的范围，即可得出答案.
【小问1详解】
将的替换为，
得，
联立
解得.
【小问2详解】
由（1）结合已知可将不等式化为，
即.
又一元二次方程，
恒成立，
可得方程两根为.
又，所以，，
所以.
又，所以，
所以当时，的最小值为1，当时，最大值.
19. 已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质，，即可求出函数的解析式；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围.
【小问1详解】
∵是定义在上奇函数，且时，，
∴，解得，
∴时，，
当时，，则，
即在上的解析式为．
∴函数的解析式为
【小问2详解】
∵时，，
∴在有解，
整理得，
令，显然与在上单调递减，
∴在上单调递减，则，
∴
∴实数的取值范围是．
20. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．
（1）分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
【解析】
分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解.
【小问1详解】
设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
小问2详解】
设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，
则，
令，则，所以，
当时，，此时.
故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元.
21. 已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可；
（2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可.
【小问1详解】
函数是偶函数，
故，
即，，故.
【小问2详解】
，故，
若函数与的图象有且只有一个交点，
即在上只有一个解，故，
即，即，
设
故只有一个解，即，
当时，，则，不符合，故舍去；
当时，函数对称轴为，
故在0,+∞单调递减，且，故方程在无解；
当时，函数的对称轴为t=4a2a−1>0，且，，
故方程 在上有唯一解，符合题意，
综上所述，的取值范围是1,+∞.
22. 已知.
（1）求函数的表达式；
（2）用函数单调性定义证明的单调性；
（3）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）设，得，代入已知式后，再把换成即得；
（2）由单调性的定义证明；
（3）设，，由（2）知，原不等式可化为在恒成立，求出左边的最小值即得.
【小问1详解】
因为，
设，，可得，
，即，.
【小问2详解】
任取，且，
则
，
∵，∴，，，
∴，∴，
∴为上的增函数.
【小问3详解】
由对恒成立，
即对恒成立，
可得，
则，
，
.
设，，由（2）知，
故原不等式可化为在恒成立，
因为，当时， ，∴，
∴的取值范围是.
【点睛】方法点睛：解决函数不等式恒成立问题的方法一般是转化为求函数的最值，一种方法是直接求函数最值，然后解最值满足的不等式得参数范围，另一种方法是分离参数，转化为求没有参数的函数的最值，从而得参数范围.