四川省内江市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章至第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C
2. 若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定的
【答案】B
【解析】
【分析】不妨设中，，，利用余弦定理得到，从而得到为钝角，即可判断.
【详解】不妨设中，，，
因为，则，
由余弦定理可得，又，
所以为钝角，故该三角形为钝角三角形.
故选：B
3. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出，再根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，
又，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：A
4. 已知函数，则“”是“的最小正周期为”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及正切型函数的周期性计算可得.
【详解】当时，则的最小正周期，故充分性成立；
若的最小正周期为，即，解得，故必要性不成立；
所以“”是“的最小正周期为”充分不必要条件.
故选：B
5. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，
在中，，
所以，得到，
故选：D.
6. 已知，函数，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意为最大值或最小值，从而得到为函数的对称轴，再根据正弦函数的性质求出，最后确定的最小正值.
【详解】因为，且，，
即为最大值或最小值，即为函数的一条对称轴，
所以，
解得，
又，所以当时取得最小值.
故选：B
7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，是线段上一点（不含端点），若，则（ ）

A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出直线的方程，根据在线段上，设出点坐标，列出方程，再根据列方程，解方程组，得到点坐标，可求的长度.
【详解】如图：

点A，C在一次函数的图象上.
设，
则，，，解得（舍去），
所以，，.
故选：B
8. 如图，为了测量两山顶间距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到是等边三角形，从而有，记直线与直线的交点为，根据条件得到为的中点，从而有，即可求出结果.
【详解】因为，，可得是等边三角形，千米.
记直线与直线的交点为，，
所以为的中点，所以为等腰三角形，，
又，所以千米，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 是直角三角形
B. 若点，则四边形是平行四边形
C 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．
【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确.
若点，则,，四边形是平行四边形，B正确.
若，则，C错误.
若，则是中点，，D正确.
故选：ABD．
10. 已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（ ）
A. 若复数满足，且，则
B. 若复数满足，则
C. 若，则
D 若复数，满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D.
【详解】对于A选项，令，a，，则，
因为，且，所以，则，故，故A正确；
对于B选项，令，则由，得，
所以，故B正确；
对于C选项，令，，此时，，，故C错误；
对于D选项，令，，
则，所以，
，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在上的最大值为3
D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算可判断A，计算可判断B，由自变量范围求出范围，换元后利用对勾函数求最值可判断C，根据图象平移计算即可判断D.
【详解】.
因为，所以A错误.
因为
，
所以的图象关于点对称，B正确.
若，则，所以，
因为函数在上单调递增，所以，C正确.
，则，且定义域关于原点对称，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，再由平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，，且与共线，
所以，即，又，是两个不共线的单位向量，
所以，解得.
故答案为：
13. 如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为，，四边形的面积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，即可得到，再由、面积公式及三角恒等变换公式得到，从而求出，即可得解.
【详解】连接、，因为圆的半径为，，则是等边三角形，
所以，
四边形的面积
，
解得.
因为，所以，则，
所以是等边三角形，所以.
故答案为：
14. 若，，均为单位向量，且，的取值范围是，则______，的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据条件，利用模长的计算公式，即可求出；设，根据条件得到的取值范围，再利用，分类讨论的取值范围，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】由题可知：，因为，所以
因为，
不妨设，
则，因为的取值范围是，得到
所以的取值范围是，
又因为，当时，；
当时，，
综上，的取值范围是，
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值及取得最大值时x的取值集合．
【答案】（1）
（2）最大值为0，
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦型函数的性质求的最小正周期；
（2）由正弦型函数性质求的最大值及取得最大值时x的取值集合．
【小问1详解】
．
所以的最小正周期．
【小问2详解】
，则函数最大值为0．
当取得最大值时，，即．
所以的最大值为0，取得最大值时的取值集合为
16. 已知向量，．
（1）若，求；
（2）若，，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算；
（2）由向量平行的坐标表示求得，然后由数量积的坐标运算求向量夹角的余弦值．
【小问1详解】
由题意，
因为，则，得，
则，所以；
【小问2详解】
由已知，又，，
所以，得，
则，
故．
17. 的内角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出，再余弦定理列方程求解即得.
【小问1详解】
依题意，，
在中，由正弦定理得，
因此，而，则，又，
所以.
【小问2详解】
由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以的周长为.
18. 在平行四边形中，，，，是线段中点，，．
（1）若，与交于点，，求的值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设、，用、作为一组基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程组，求出、，即可得到，从而求出、，即可得解；
（2）用、作为基底表示出、，再根据数量积的运算律及定义得到关于的函数，最后根据二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
当时，即为的中点，
因为、、三点共线，
设，则
，
因为、、三点共线，
设，则，
又、不共线，
根据平面向量基本定理得，解得，
所以，又，则，
所以.
【小问2详解】
因为，
，
所以
，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
19. 若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，．
（1）若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由；
（2）若函数，，且与具有关系，求a的最大值；
（3）若函数，，且与具有关系，求m的取值范围．
【答案】（1）与是否具有关系，理由见解析
（2）5 （3）或
【解析】
【分析】（1）先求出，在的值域为，从而得到对任意的，存在，使得，得到结论；
（2）求出，结合，得到，得到不等式，求出的取值范围，求出最大值；
（3）由题意得到的值域，其中，换元后得到，由对称轴进行分类讨论，得到的值域，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
与是否具有关系，理由如下：
时，，故，
，
又在的值域为，
由于，即是的真子集，
故对任意的，存在，使得，
与是否具有关系.
【小问2详解】
时，，
由题意得，任意的，存在，使得，
又，，
故，即，解得，
故的最大值为5；
【小问3详解】
由题意得对任意的，存在，使得，
又，
故的值域，
令，，
令，则，
设，
若对称轴，即时，，
则，解得，与求交集，结果为，
若，即时，，
则，解得，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
若，即时，，
则，解得或，与取交集，结果为，
综上，或
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.