一、选择题
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
2．已知等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则公差d的值为( )
A．B．1
C．－1D．－
3．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cs B的大小为( )
A．B．
C．－D．
4．(多选)等差数列20，17，14，11，…中的负数项有( )
A．第7项B．第8项
C．第9项D．第10项
5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21B．22
C．23D．24
二、填空题
6．＋1与－1的等差中项是________．
7．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为________．
8．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
三、解答题
9．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0．求数列的通项公式．
10．首项为－24的等差数列{an}，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A．B．
C．D．
11．(2022·安徽滁州高二联考)在数列{an}中，a4＝49，＝＋2，则a7＝( )
A．121B．144
C．169D．196
12．(多选)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是( )
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
13．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8．若p－q＝10，则ap－aq＝________．
14．在数列{an}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列．
15．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)．
(1)当a2＝－1时，求实数λ及a3；
(2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由．
课时分层作业(三)
1．A [等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3．故选A．]
2．C [根据an＝am＋(n－m)d，得d＝＝＝－1，故d＝－1．故选C．]
3．B [∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B．
又A＋B＋C＝π，∴B＝，∴cs B＝cs ＝．]
4．BCD [因为a1＝20，d＝－3，所以an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，所以a7＝2>0，a8＝－1<0．
故数列中的负数项是第8项及其之后的项，故选BCD．]
5．B [公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即⇒21又∵n∈N*，∴n＝22．]
6． [由题意得＋1与－1的等差中项为＝．]
7．an＝36－3n [若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．]
8． [设公差为d，∵－＝－＝＝2d，
∴d＝．∴＝＋4×d＝＋4×＝．
∴a10＝．]
9．解：由an＋2－2an＋1＋an＝0得2an＋1＝an＋an＋2，
根据等差中项知，该数列为等差数列．设公差为d，
则a4－a1＝3d，即d＝＝＝－2．∴an＝a1＋(n－1)d＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10．
10．C [设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，
由解得11．C [由＝＋2得＝2，因此数列{}为等差数列，所以＝＋2(n－1)，因为a4＝49，所以＝＋6＝7，解得a1＝1，所以an＝(2n－1)2，a7＝169．]
12．BC [等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为12，首项为2，所以通项为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16，即新数列的项数为16．故选BC．]
13．10 [∵数列{an}为等差数列，且a1＝1，
又a2＋a6＝a8，∴(1＋d)＋(1＋5d)＝1＋7d，
∴d＝1．
∴ap－aq＝(p－q)×d＝10．]
14．证明：法一(通解通法)：由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，
所以bn＋1－bn＝2n+1an＋1－2nan＝2n+1·－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
法二(巧思妙解)：在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n+1·an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
15．解： (1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
所以λ＝．所以a3＝－a2＋22＝．
(2)不存在．理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16．
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即λ2－7λ＋13＝0．
因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解．
所以不存在实数λ，使{an}为等差数列．