一、选择题
1．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列D．无法确定
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为( )
A． B．± C．－ D．－
3．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝( )
A．6B．7
C．8D．9
4．(多选)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12>31，则公差d的取值可以为( )
A．3B．4
C．5D．6
5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( )
A．6.5尺B．13.5尺
C．14.5尺D．15.5尺
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________．
7．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，＝________．
8．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________．
三、解答题
9．在等差数列{an}中：(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差为d．
10．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A．14B．15
C．16D．17
11．(2021·北京高考)已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为( )
A．64B．128
C．256D．512
12．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝________．
13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________、________、________．
14．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
15．已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4．若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，求新数列的第50项，a50是新数列的第几项？
课时分层作业(四)
1．B [等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2＜0，则直线呈下降趋势，故数列{an}单调递减．故选B．]
2．D [在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，
即3a7＝4π，
∴a7＝，又∵a2＋a12＝2a7．
∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－．]
3．B [∵2an＝an－1＋an＋1，∴{an}是等差数列，由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＋a4＝3＋4＝7．]
4．BCD [设{an}的首项为a1，由题意，
可知解得d>3．
所以选项BCD符合．]
5．D [设冬至的日影长为a1，由题意得a1＋a3＋a5＝40.5，根据等差数列的性质可知3a3＝40.5⇒a3＝13.5，芒种的日影长为a12＝4.5，
所以解得a1＝15.5，d＝－1，
所以冬至的日影长为15.5尺．故选D．]
6．132 [在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．]
7．20 [在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，所以a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则＝＝a1＋a2＋…＋a10＝20．]
8． [n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝．]
9．解：法一：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12．
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，
得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，
解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3．
法二：(1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12．
(2)直接化成a1和d的方程如下：
解得或
∴d＝3或－3．
10．C [设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴5a8＝120，a8＝24，
∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16．]
11．B [由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128．]
12．1 [由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1．]
13．2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．]
14．解： (1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4．
设公差为d，则a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，
∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n．
(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n．
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4．
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴bn＝4＋4(n－1)＝4n．
15．解： an＝a5＋(n－5)d＝4n－16．
在新数列{bn}中，
b1＝a1＝－12，
公差d′＝d＝，
∴bn＝－12＋(n－1)＝n－，
∴b50＝．
由a50＝184＝n－，
得n＝148．
∴a50是新数列的第148项．