人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质习题，共7页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

A．2πB．π
C．eq \f(π,2)D．eq \f(π,4)
2．函数y＝sin (2x＋eq \f(π,4))的图象的一个对称轴方程是( )
A．x＝－eq \f(π,8)B．x＝－eq \f(π,4)
C．x＝eq \f(π,8)D．x＝eq \f(π,4)
3．已知函数f(x)＝sin (x＋eq \f(π,2))，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间(0，π)上是减函数
C．函数f(x)的图象关于(kπ，0)(k∈Z)对称
D．函数f(x)是偶函数
4．若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意的x都有f(eq \f(π,3)＋x)＝f(eq \f(π,3)－x)，则f(eq \f(π,3))＝( )
A．3或0B．－3或0
C．0D．－3或3
5．(多选)已知函数f(x)＝2sinx，则( )
A．f(x)是R上的奇函数
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)有最大值1
D．f(x)在[0，π]上单调递增
6．(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x－eq \f(5π,2))(x∈R)，下面结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]上单调递增
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的图象关于y轴对称
7．在函数y＝2sin (2x－eq \f(π,6))的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为________．
8．函数y＝3－3sinx－2cs2x的最小值是________．
9．设函数f(x)＝cs(2x＋φ)(0<φ<π)，y＝f(x)图象的一个对称中心是(eq \f(π,6)，0).
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ) ，其中ω>0，φ∈(0，eq \f(π,2)).
条件①：函数f(x)最小正周期为π；
条件②：函数f(x)图象关于点(－eq \f(π,6)，0)对称；
条件③：函数f(x)图象关于x＝eq \f(π,12)对称．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：
(1)f(x)的单调递增区间；
(2)f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]的最大值和最小值．
11.已知f(x)＝sin (eq \f(1,2)x－eq \f(π,3))，下列命题中错误的是( )
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,3)对称
B．函数y＝f(x)在[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递增
C．函数y＝f(x)的图象关于点(eq \f(5π,3)，0)对称
D.函数y＝f(x)在[－eq \f(4π,3)，π]上的值域是[－1，eq \f(1,2)]
12．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)中心对称，则|φ|的最小值为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(4π,3)
13．已知函数f(x)＝cs (ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)在(0，eq \f(4π,3))单调递减，在(eq \f(4π,3)，2π)单调递增，则f(x)的最小正周期为( )
A．eq \f(π,2)B．π
C．2πD．4π
14．(多选)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(－eq \f(π,2)<φA．函数f(x)在[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递减
B．函数f(x＋eq \f(π,3))为偶函数
C．由f(x1)＝f(x2)＝eq \f(1,2)可得x1－x2是π的整数倍
D．函数f(x)在区间(0，2π)上有3个零点
15.试写出一个同时满足下列三个条件的函数f(x)＝________．
①f(x)是奇函数；
②f(x)的最小正周期为π；
③f(x)在(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递减．
16．已知函数f(x)＝3sin (2x－eq \f(π,6)).
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若函数y＝f(x)－a在x∈[eq \f(π,12)，eq \f(5π,12)]存在零点，求实数a的取值范围．
课时作业57
1．解析：函数的最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π，因此相邻两条对称轴之间的距离是eq \f(T,2)＝eq \f(π,2).故选C.
答案：C
2．解析：对于函数y＝sin (2x＋eq \f(π,4))，令2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，
解得x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，故函数的对称轴方程为x＝eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
令k＝0，可知函数的一条对称轴为x＝eq \f(π,8).故选C.
答案：C
3．解析：f(x)＝sin (x＋eq \f(π,2))＝csx，
由余弦函数的性质可知，
函数的最小正周期T＝eq \f(2π,1)＝2π，即A正确；
在区间(0，π)上单调递减，即B正确；
关于(eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)对称，即C错误；
是偶函数，即D正确．故选C.
答案：C
4．解析：∵任意实数x都有f(eq \f(π,3)＋x)＝f(eq \f(π,3)－x)恒成立，
∴x＝eq \f(π,3)是f(x)的一条对称轴，∴当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值3或最小值－3.故选D.
答案：D
5．解析：A：函数的定义域为R，且f(－x)＝2sin (－x)＝－2sinx＝－f(x)，为奇函数，故A正确；
B：函数的最小正周期为T＝eq \f(2π,1)＝2π，故B正确；
C：－1≤sinx≤1，得f(x)＝2sinx的最大值为2，故C错误；
D：函数f(x)＝2sinx的单调增区间为[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)，
当k＝0时，[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ]＝[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，即函数在[0，eq \f(π,2)]上单调递增，故D错误．故选AB.
答案：AB
6．解析：f(x)＝2sin (2x－eq \f(5π,2))＝2sin(2x－eq \f(π,2))＝－2cs2x，
所以函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故A正确；
当x∈[0，eq \f(π,2)] 时，2x∈[0，π]，所以y＝cs2x在区间[0，eq \f(π,2)]上单调递减，
所以函数f(x)在区间[0，eq \f(π,2)]上单调递增，故B正确；
因为f(－x)＝－2cs2x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故C错误；
函数f(x)的图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)得对称轴的方程为x＝eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，其中离坐标原点最近时，k＝－1，即x＝－eq \f(π,6).
答案：x＝－eq \f(π,6)
8．解析：y＝3－3sinx－2cs2x＝2sin2x－3sinx＋1＝2(sinx－eq \f(3,4))2－eq \f(1,8)，所以当sinx＝eq \f(3,4)时，ymin＝－eq \f(1,8).
答案：－eq \f(1,8)
9．解析：(1)∵y＝f(x)图象的一个对称中心是(eq \f(π,6)，0)，
∴cs (2×eq \f(π,6)＋φ)＝0，
∴2×eq \f(π,6)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
又∵0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6).
(2)由(1)得函数f(x)＝cs (2x＋eq \f(π,6))，
∴2kπ－π≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z，
即kπ－eq \f(7π,12)≤x≤kπ－eq \f(π,12)，k∈Z；
故y＝f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(7π,12)，kπ－eq \f(π,12)]，k∈Z.
10．解析：(1)若选条件①②时，则ω＝eq \f(2π,π)＝2，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于(－eq \f(π,6)，0) 对称，
∴f(－eq \f(π,6))＝0，即：2×(－eq \f(π,6))＋φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，eq \f(π,2))，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
整理得：－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－eq \f(5π,12)＋kπ，eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z，
若选条件①③时，则ω＝eq \f(2π,π)＝2，即：f(x)＝sin (2x＋φ) ，
又∵f(x) 关于x＝eq \f(π,12)对称，
∴f(eq \f(π,12))＝±1，即：2×eq \f(π,12)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得：φ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，eq \f(π,2))，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))，
令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
整理得：－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[－eq \f(5π,12)＋kπ，eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z，
若选条件②③时，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(ωπ,6)＋φ＝k1π，k1∈Z，,\f(ωπ,12)＋φ＝k2π＋\f(π,2)，k2∈Z，))
不能确定函数的最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．
(2)若选条件①②或选条件①③时，f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,3))，
∵0≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，
∴当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值为1，
当2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(4π,3)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值为－eq \f(\r(3),2).
11．解析：对于A，因为f(－eq \f(π,3))＝sin (－eq \f(π,2))＝－1为最小值，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,3)对称，故A正确；
对于B，因为x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]，所以eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)∈[－eq \f(π,2)，－eq \f(π,12)]，
所以函数y＝f(x)在[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]上单调递增，故B正确；
对于C，因为f(eq \f(5π,3))＝sineq \f(π,2)＝1，
所以点(eq \f(5π,3)，0)不是函数f(x)的对称中心，故C错误；
对于D，因为[－eq \f(4π,3)，π]，所以eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)∈[－π，eq \f(π,6)]，
所以f(x)∈[－1，eq \f(1,2)]，故D正确．故选C.
答案：C
12．解析：因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)中心对称，
所以sin (2×eq \f(π,6)＋φ)＝0，则2×eq \f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，故|φ|的最小值为eq \f(π,3).故选B.
答案：B
13．解析：由题意结合余弦函数图象可得eq \f(4π,3)ω＋eq \f(π,3)＝π，∴ω＝eq \f(1,2)，
最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝4π.故选D.
答案：D
14．解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，
所以2×eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，可得φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，
又－eq \f(π,2)<φ对于A，当x∈[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]时，2x－eq \f(π,6)∈[eq \f(π,2)，eq \f(5π,6)]，由正弦函数性质知f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，故A正确；
对于B，f(x＋eq \f(π,3))＝sin [2(x＋eq \f(π,3))－eq \f(π,6)]＝sin (2x＋eq \f(π,2))＝cs2x是偶函数，故B正确；
对于C，当x1＝eq \f(π,6)，x2＝eq \f(π,2)时，f(x1)＝f(x2)＝eq \f(1,2)，但x1－x2＝－eq \f(π,3)不是π的整数倍，故C错误；
对于D，令f(x)＝sin (2x－eq \f(π,6))＝0，则2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，即x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
由0答案：AB
15．解析：因为f(x)的最小正周期为π，
故f(x)可为三角函数，且ω＝eq \f(2π,π)＝2.
又因为f(x)是奇函数，
故f(x)＝sin2x.
再观察到sin2x在(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递减，
故f(x)可确定为f(x)＝sin2x.
答案：sin 2x或其他合理答案
16．解析：(1)由题意可得：函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，
令2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为(eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，0)，k∈Z.
(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－eq \f(π,6)＋kπ，eq \f(π,3)＋kπ]，k∈Z.
(3)令f(x)－a＝3sin (2x－eq \f(π,6))－a＝0，则sin (2x－eq \f(π,6))＝eq \f(a,3)，
原题意等价于方程sin (2x－eq \f(π,6))＝eq \f(a,3)在x∈[eq \f(π,12)，eq \f(5π,12)]上有解，
当x∈[eq \f(π,12)，eq \f(5π,12)]时，2x－eq \f(π,6)∈[0，eq \f(2π,3)]，故sin (2x－eq \f(π,6))∈[0，1]，
所以0≤eq \f(a,3)≤1，解得0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3].
基础强化
能力提升