数学第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题

这是一份数学第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（ ）.
A．B．C．D．
2．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．0C．2D．
5．已知的图象与直线在区间上存在两个交点，则当最大时，曲线的对称轴为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．
C．1D．
8．若直线是函数图象的两条相邻的对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．的最大值为1
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数
B．的值域为
C．的最小正周期为
D．的图象关于直线对称
11．已知定义域为的函数满足：，，则（ ）
A．是偶函数B．是周期为2的函数
C．D．
12．已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若的最小正周期为，则
C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
D．若，则的最小值为2
三、填空题
13．已知函数在上单调递增，则取值范围是 .
14．已知函数的部分图象如图，，则 ．

15．写出一个同时满足下列条件的函数的解析式： .
①；②.
16．已知函数.如图，直线与曲线交于，两点，，则= .在区间上的最大值与最小值的差的范围是 .
四、解答题
17．已知，其中，，，的部分图像如图所示：

(1)求的解析式；
(2)当时，求的解集；
(3)若写出函数在上的零点个数.
18．已知函数，.
(1)求的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
(2)求在闭区间上的最大值和最小值，
19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式及单调递减区间；
(2)当时，求函数的最小值及此时的值.
20．已知函数，，将图象向右平移个单位，得到函数的图象.
(1)求函数的解析式；
(2)求g(x)在上的单调递增区间.
21．已知函数图像的对称中心到对称轴的最小距离为.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
22．如图为小球在做单摆运动时，离开平衡位置时的位移随时间变化所满足的函数图象，已知该图象满足（，）的形式．试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式．

参考答案：
1．B
【分析】利用给定函数及其对称轴求出，进而求出函数的周期，再利用正弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，而，则，
于是原函数的周期，因为是该函数的两个不同的零点，
因此，显然选项ACD分别是的1，2，4倍，而不是的整数倍.
故选：B
2．B
【分析】由单调性及对称性得出函数的最小正周期，从而求得，然后求得，最后计算即可．
【详解】由已知，最小正周期为，，
，，，
，
，
故选：B．
3．A
【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的周期性可判断A，B。
【详解】由于，，
故，
即为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；
令，由于在上单调递增，
故在上单调递增，同理推得在上单调递增，
故在上单调递增，D错误；
由于的最小正周期依次为，
故的最小正周期为，
故在上的图象和在上的图像平移后应该重合，
B中图象不满足，故B错误，
只有A中图象符合函数满足的上述性质，A正确，
故选：A
4．D
【分析】由，可得，然后利用正弦函数的性质可求得函数的最值.
【详解】因为，所以，所以，
由的图像与性质知，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，所以最大值与最小值之差为，
故选：D．
5．D
【分析】先根据条件求出的取值范围，再求出对称轴.
【详解】当时，
要使得的图象与直线存在两个交点，
则，解得，
又因为，所以，所以，
此时曲线的对称轴为，，
解得，，
故选：D
6．A
【分析】分析可得，可得出，再结合题意可得出关于的不等式，结合的取值可求得的取值范围.
【详解】因为恒成立，则，
所以，，则，
当时，，
因为，则，
因为在区间上恰有个零点，则，
即，，解得，，
假设不存在，则或，解得或，
因为存在，则，因为，则.
所以，，可得，
故选：A.
7．D
【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数的图象，可得，可得，则，
所以，
又由，即，可得，
解得，因为，所以，所以，
则.
故选：D.
8．D
【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.
【详解】依题意得函数的最小正周期，
解得.
故选：D.
9．BD
【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误.
故选：BD
10．ACD
【分析】A.结合正弦函数的奇偶性，利用函数奇偶性的定义判断；B. 令，转化为对勾函数求解判断；C. 结合诱导公式，利用周期函数的定义判断；D.结合诱导公式，利用函数的对称性判断.
【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，又，故是奇函数，故A正确；
令，由对勾函数的性质得，故B错误；
因为，所以的最小正周期为，故C正确；
因为，所以的图象关于点直线对称，故D正确；
故选：ACD
11．BC
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、诱导公式等知识求得正确答案.
【详解】题解析：由，得，所以，
是周期为2的周期函数，所以选项B正确．
由知，又因为，
所以，选项C正确．
取，满足：
，
，
故符合题意，此时不是偶函数，且，所以A，D错误．
故选：BC
【点睛】对于抽象函数有关的问题，可以考虑的方向有奇偶性、周期性和单调性等等，考虑函数的周期性，即，此时是周期为的周期函数.奇偶性主要是判断或.
12．AB
【分析】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项.
【详解】为偶函数,则 ，,,A选项正确;
若的最小正周期为,由,则,B选项正确;
,若在区间上有且仅有3个最值点，则 ,,C选项错误;
,若，或则或,又因为,则的最小值为，D选项错误.
故选:AB.
13．
【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可.
【详解】令，解得，
所以的单调递增区间为，
因为在上单调递增，所以，解得，
所以.
故答案为：
14．
【分析】运用代入法，结合函数的对称性和函数图象的特征进行求解即可.
【详解】由函数的图象可知该函数经过、两点，
把代入函数解析式中，得，
因为，所以，即，
把代入中，得
，
设该函数的最小正周期为，由图象可知，
所以令，得，即，
该函数的对称轴为：，
与函数的图象可知：关于对称，
因此有，且，
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过图象得到和关于对称.
15．(答案不唯一).
【分析】结合函数的奇偶性和函数的对称性作答；
【详解】因为，所以函数为奇函数，
，所以函数关于对称，
得.
故答案为：(答案不唯一).
16．
【分析】首先根据函数图象得到，从而得到.再分类讨论是否单调，求解最大值与最小值的差的范围即可.
【详解】设函数周期为，则，解得，.
由图可知，是函数的一个零点，则，即，.
又因为，则，故.
当对称轴不在，上时，
函数在，上单调，
设函数在区间，上的最大值与最小值之差为，
则
.
当对称轴在区间，上时，不妨设对称轴上取得最大值1，
则函数的最小值为或，
显然当对称轴经过区间，中点时，取得最小值，
不妨设，，则，，
，∴的最小值为，
当对称轴在区间，上时，不妨设对称轴上取得最小值，
则函数的最大值为或，
显然当对称轴经过区间，中点时，取得最大值，
不妨设，，则，，
，∴的最小值为，
综上，函数在区间，上的最大值与最小值之差的取值范围是.
故答案为：，
17．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）结合图象，由最高点先算出，再由算出，最后把最高点代入函数表达式算出，结合图象算出的范围，从而求出的值即可.
（2）结合（1）中所得表达式，先解表达式，将解集再与取交集即可.
（3）先根据的定义将其函数表达式算出来，再根据其单调性以及函数图象上的关键点作出函数的图象，而原问题又等价于函数图象与的交点个数，通过平移直线即可求解.
【详解】（1）如题图所示：

由函数图象中最高点的纵坐标可知，
所以，
又在函数图象上面，
所以，解得，
结合可知，
所以，
由图象最高点的坐标可知，，即，
所以，解得，
由图可知两个点相差小于半个周期，即，
所以，
结合，解得，
又，
所以只能，
所以的解析式为
（2）由（1）可知，
所以可将不等式转换为，
所以，
解不等式组得，
又已知，
所以只能或，
综上所述：当时，的解集为.
（3）由的定义可知当时，，
当时，有，此时，
因此，
当时，有，根据正弦函数的单调性可知此时在上单调递增，
又当时，有，令，解得，
根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，
注意到，且当时，有，
且，，
将函数在上的零点个数，转换为函数图象与的交点个数，
由以上分析画出与在上的函数图象如图所示：

由图可知，当或时，函数与的图象的交点的个数为0；
当时，函数与的图象的交点的个数为1；
当时，函数与的图象的交点的个数为2；
综上所述：当或时，函数在上的零点个数为0；
当时，函数在上的零点个数为1；
当时，函数在上的零点个数为2.
18．(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心坐标为
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，得出结论.
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得在闭区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）解：因为函数
所以函数的最小正周期为，
令，可得对称轴方程为；
再令，解得，
所以函数对称中心坐标为.
（2）解：由（1）知，函数，
因为，可得，则，
可得.
所以函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
19．(1)，
(2)0,或
【分析】（1）由图可求得A及周期，从而可得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案.
【详解】（1）由图象可知，， ，即，
，
由图象过点可知，，，即，
，，
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）由于，
所以，故，
所以，
所以当或时，有最小值0.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象平移，即可得出答案；
（2）根据余弦函数的单调性，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，.
（2）由，
可得，函数的单调递增区间为.
又，所以，
所以，在上的单调递增区间为.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件求出，从而得到，再利用的性质即可求出结果；
（2）根据（1）中结果，易得到函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，利用函数的单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为图像的对称中心到对称轴的最小距离为，则，
所以，又，由，解得，
所以，函数的解析式是，
由，，
解得，，
所以函数的减区间为，.
（2）由，，得到，，
所以函数的增区间为，.
故由（1）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
因为，，，
故函数在区间上的值域为.
22．
【分析】根据函数的图象，结合三角函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由图象知，函数的最小正周期，所以．
因为点在函数图象上，所以，即．
又因为，可得，所以，即．
因为点在函数图象上，所以，可得，
故所求函数的解析式为．