人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时练习，共4页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

A．－eq \f(\r(2),2)B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(6),2)D．eq \f(\r(6),2)
2．设3π<α<4π，cseq \f(α,2)＝m，那么cseq \f(α,4)＝( )
A.eq \r(\f(m＋1,2))B．－eq \r(\f(m＋1,2))
C．－eq \r(\f(1－m,2))D.eq \r(\f(1－m,2))
3．已知函数f(x)＝sinωx－csωx(ω∈R)的最小正周期为π，则实数ω＝( )
A．2B．－2
C．±2D．±1
4．已知－eq \r(3)sinx＋csx＝Asin (x－β)，其中A>0，β∈(0，2π)，则β＝( )
A．eq \f(2π,3)B．eq \f(5π,6)
C．eq \f(7π,6)D．eq \f(4π,3)
5．(多选)已知2sinα＝1＋csα，则taneq \f(α,2)的可能取值为( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．不存在
6．(多选)设函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx－2cs2x，若函数y＝f(x＋φ)为偶函数，则φ的值可以是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(5π,6)D．eq \f(2π,3)
7．若sinθ＝eq \f(3,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π，那么sineq \f(θ,2)＝________．
8．在等腰三角形中，已知顶角的余弦值是eq \f(4,5)，则底角的余弦值是________．
9．化简：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)).
10．已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在x∈[0，eq \f(π,2)]上的最值．
11.已知sinθ＋cs (θ＋eq \f(π,6))＝1，则sin (θ＋eq \f(π,3))＝( )
A．1B．eq \f(\r(3),2)
C．－1D．eq \f(1,2)
12．已知α为第一象限角，且tanα＝eq \f(4,3)，则sineq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(5),5)B．－eq \f(\r(5),5)
C．±eq \f(\r(5),5)D．eq \f(1,5)
13．把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的表达式，则有( )
A．y＝50cs2θB．y＝25sinθ
C．y＝25sin2θD．y＝50sin2θ
14．(多选)关于函数f(x)＝cs2x－2eq \r(3)sinxcsx，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)的最大值为2
B．x＝eq \f(π,6)是函数f(x)的图象的一条对称轴
C．点(eq \f(7π,12)，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心
D．f(x)在区间[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上单调递增
15.设m为实数，已知sinα－eq \r(3)csα＝m，则m的取值范围为________．
16．如图，现要在一块半径为1m，圆心角为eq \f(π,3)的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在圆弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式；
(2)求S的最大值及相应的θ角．
课时作业62
1．解析：sineq \f(π,12)－cseq \f(π,12)＝eq \r(2)(cseq \f(π,4)sineq \f(π,12)－sineq \f(π,4)cseq \f(π,12))＝eq \r(2)sin (eq \f(π,12)－eq \f(π,4))＝－eq \r(2)sineq \f(π,6)＝－eq \f(\r(2),2).故选A.
答案：A
2．解析：由于cseq \f(α,2)＝2cs2eq \f(α,4)－1，可得cs2eq \f(α,4)＝eq \f(1＋cs\f(α,2),2).又3π<α<4π，所以eq \f(3π,4)答案：B
3．解析：∵f(x)＝sinωx－csωx＝eq \r(2)sin (ωx－eq \f(π,4))，∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，解得：ω＝±2.故选C.
答案：C
4．解析：－eq \r(3)sinx＋csx＝2(－eq \f(\r(3),2)sinx＋eq \f(1,2)csx)
＝2sin (x＋eq \f(5π,6))＝Asin (x－β)，∴－β＝eq \f(5π,6)＋2kπ，
∵β∈(0，2π)，∴β＝eq \f(7π,6).故选C.
答案：C
5．解析：由2sinα＝1＋csα，得2×2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝1＋2cs2eq \f(α,2)－1，整理，得2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝cs2eq \f(α,2)，所以cseq \f(α,2)＝0或2sineq \f(α,2)＝cseq \f(α,2)，当cseq \f(α,2)＝0时，eq \f(α,2)角终边落在y轴上，所以taneq \f(α,2)不存在，当2sineq \f(α,2)＝cseq \f(α,2)时，taneq \f(α,2)＝eq \f(1,2).故选AD.
答案：AD
6．解析：因为f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx－2cs2x＝eq \r(3)sin2x－cs2x－1＝2sin (2x－eq \f(π,6))－1，所以y＝f(x＋φ)＝2sin (2x＋2φ－eq \f(π,6))－1，又函数y＝f(x＋φ)为偶函数，所以2φ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)，k∈Z，所以φ的值可以是eq \f(π,3)，eq \f(5π,6).故选BC.
答案：BC
7．解析：若sinθ＝eq \f(3,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π，∴eq \f(θ,2)∈(eq \f(5π,4)，eq \f(3π,2))，csθ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(4,5)，那么sineq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－csθ,2))＝－eq \f(3\r(10),10)．
答案：－eq \f(3\r(10),10)
8．解析：设顶角为α，底角为β，则α＋2β＝π，csα＝eq \f(4,5)，
又∵csα＝1－2sin2eq \f(α,2)，eq \f(α,2)∈(0，eq \f(π,2))，
∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－csα,2))＝eq \r(\f(1－\f(4,5),2))＝eq \f(\r(10),10)，
∴csβ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π－α,2)))＝sineq \f(α,2)＝eq \f(\r(10),10).
答案：eq \f(\r(10),10)
9．解析：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(csα,\f(1,2)sinα))
＝eq \f(1,2)sinαcsα＝eq \f(1,4)sin2α.
10．解析：(1)∵f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs2x＝2sin (2x＋eq \f(π,3))，x∈R，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)在区间[0，eq \f(π,2)]上，2x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,3)，eq \f(4π,3)]，
∴sin (2x＋eq \f(π,3))∈[－eq \f(\r(3),2)，1]，
∴f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,3))∈[－eq \r(3)，2]，
∴f(x)的最大值为2，f(x)的最小值为－eq \r(3).
11．解析：sinθ＋cs (θ＋eq \f(π,6))＝sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ－eq \f(1,2)sinθ＝eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ＝sin (θ＋eq \f(π,3))＝1.故选A.
答案：A
12．解析：因为α为第一象限角，则2kπ<α<2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以kπ故eq \f(α,2)为第一或第三象限角．且tanα＝eq \f(4,3)，则csα＝eq \f(3,5).
当eq \f(α,2)为第一象限角时，sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－csα,2))＝eq \f(\r(5),5)；
当eq \f(α,2)为第三象限角时，sineq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1－csα,2))＝－eq \f(\r(5),5).故选C.
答案：C
13．解析：由题知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB，所以，在△AOB中，OA＝5csθ，AB＝5sinθ，所以，其矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4×25sinθcsθ＝100sinθcsθ＝50sin2θ.故选D.
答案：D
14．解析：因为f(x)＝cs2x－2eq \r(3)sinxcsx＝2cs (2x＋eq \f(π,3))，
对A，由f(x)＝2cs (2x＋eq \f(π,3))可得函数的最大值为2，故A对；
对B，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2cs (2×eq \f(π,6)＋eq \f(π,3))＝2cseq \f(2π,3)≠±2，故B错；
对C，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝2cs (2×eq \f(7π,12)＋eq \f(π,3))＝2cseq \f(3π,2)＝0，故C对；
对D，x∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]⇒2x＋eq \f(π,3)∈[0，π]，y＝2cst在t∈[0，π]上单调递减，故f(x)在区间[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上单调递减，D错．故选AC.
答案：AC
15．解析：sinα－eq \r(3)csα＝2(eq \f(1,2)sinα－eq \f(\r(3),2)csα)＝2sin (α－eq \f(π,3))＝m，因为－1≤sin (α－eq \f(π,3))≤1，所以－2≤2sin (α－eq \f(π,3))≤2，所以－2≤m≤2，则m的取值范围为[－2，2].
答案：[－2，2]
16．解析：
(1)分别过P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1m，得PD＝sinθ，OD＝csθ.
在Rt△OEQ中，OE＝eq \f(\r(3),3)QE＝eq \f(\r(3),3)PD，
MN＝QP＝ED＝OD－OE＝csθ－eq \f(\r(3),3)sinθ，
S＝MN·PD＝(csθ－eq \f(\r(3),3)sinθ)sinθ
＝sinθcsθ－eq \f(\r(3),3)sin2θ
＝eq \f(1,2)sin2θ＋eq \f(\r(3),6)cs2θ－eq \f(\r(3),6)，θ∈(0，eq \f(π,3)).
(2)由(1)得S＝eq \f(1,2)sin2θ＋eq \f(\r(3),6)cs2θ－eq \f(\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)sin (2θ＋eq \f(π,6))－eq \f(\r(3),6).
∵θ∈(0，eq \f(π,3))，∴2θ＋eq \f(π,6)∈(eq \f(π,6)，eq \f(5π,6))，
∴sin (2θ＋eq \f(π,6))∈(eq \f(1,2)，1]，
当θ＝eq \f(π,6)时，Smax＝eq \f(\r(3),6)m2.
基础强化
能力提升