高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换同步训练题

  课时作业 40

一、选择题

1．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　)

A．－  B.

C.     D．－

解析：因为α∈，所以∈，

所以sin＝＝＝.

答案：B

2．若sin 2α＝，且α∈，则cos α－sin α的值为(　　)

A.      B.

C．－  D．－

解析：因为α∈，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝，所以cos α－sin α＝－.

答案：C

3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)

A．c<b<a  B．a<b<c

C．a<c<b  D．b<c<a

解析：由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a<c<b.

答案：C

4．若α∈，则 －等于(　　)

A．cos α－sin α    B．cos α＋sin α

C．－cos α＋sin α  D．－cos α－sin α

解析：因为α∈，所以sin α≤0，cos α>0，

则 －＝－

＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.

答案：B

二、填空题

5．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________.

解析：cos 22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，

所以cos 11°＝＝.

sin 11°＝＝.

答案： 　　

6．已知cos α＝－，且180°<α<270°，则tan＝________.

解析：因为180°<α<270°，所以90°<<135°，所以tan<0，所以tan＝－＝－＝－2.

答案：－2

7．若α，β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值等于________．

解析：∵α，β∈，cos＝，sin＝－，∴α－＝±，－β＝－.

∴2α－β＝±，α－2β＝－.

α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或(0舍去)．

∴cos(α＋β)＝－.

答案：－

三、解答题

8．化简：.

解析：方法一　

原式＝

＝(复角化单角，进一步切化弦)

＝＝1(使用平方差公式)．

方法二　原式＝(利用－α与＋α的互余关系)

＝＝(逆用二倍角的正弦公式)

＝＝1.

9．求证：－2cos(α＋β)＝.

证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α

＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，

两边同除以sin α得－2cos(α＋β)＝.

[尖子生题库]

10．已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．

解析：(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x

＝sin＋.

所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知f(x)＝sin＋.

由题意知－≤x≤m，

所以－≤2x－≤2m－.

要使得f(x)在上的最大值为，

即sin在上的最大值为1.

所以2m－≥，即m≥.

所以m的最小值为.