新教材适用2023_2024学年高中数学第3章函数的概念与性质综合测试新人教A版必修第一册

这是一份新教材适用2023_2024学年高中数学第3章函数的概念与性质综合测试新人教A版必修第一册，共8页。
第三章综合测试考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝＋的定义域是( C )A．[－1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．[－1,0)∪(0，＋∞)D．R[解析]　要使函数有定义，则解得x≥－1且x≠0，故选C.2．下列各组中的函数f(x)与g(x)是同一个关于x的函数的是( C )A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1B．f(x)＝2x－1，g(x)＝2x＋1C．f(x)＝x2，g(x)＝D．f(x)＝1，g(x)＝x0[解析]　A中的f(x)＝x－1与g(x)＝－1定义域不同；B中的f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1对应关系不同；C中的f(x)＝x2与g(x)＝定义域相同，且＝x2，故是同一个函数；D中的f(x)＝1与g(x)＝x0定义域不同．故选C.3．有关函数单调性的叙述中，正确的是( C )A．y＝－在定义域上为增函数B．y＝在[0，＋∞)上单调递增C．y＝－3x2－6x的减区间为[－1，＋∞)D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数[解析]　对于A，其定义域为不含0的两个区间，在各自的区间上都是增函数，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，在[0，＋∞)上单调递减；对于C，因为y＝－3x2－6x＝－3(x＋1)2＋3，可求得减区间为[－1，＋∞)；对于D，增减性与a的取值有关．故选C.4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( C )A．－1　 B．－2C．－3  D．－4[解析]　由已知得2α＝，解得α＝－1，∴g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3，故选C.5．已知函数f(x)为偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，则不等式f(2x＋1)<2的解集为( A )A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，－1)[解析]　因为函数f(x)为偶函数且在(－∞，0]上单调递增，f(－1)＝2，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(1)＝2，且f(2x＋1)＝f(|2x＋1|)，所以f(|2x＋1|)<f(1)，所以|2x＋1|>1，解得x<－1或x>0，即x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选A.6．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f＝，则f＝( C )A．－  B．－C.  D．[解析]　由题意可得：f＝f＝f＝－f，而f＝f＝f＝－f，故f＝.故选C.7．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f>0的x的范围是( A )A.  B．C.  D．[解析]　由题意可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，又f(x)为偶函数，故f(x)在(0，＋∞)上为减函数，由f(1－2x)>f可得－<1－2x<，解得<x<.故选A.8．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( B )A．－3≤a＜0  B．－3≤a≤－2C．a≤－2  D．a＜0[解析]　由条件可知解得－3≤a≤－2.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是( BD )A．f(3)＝9  B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2  D．f(x)＝(x＋1)2[解析]　因为f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，B正确．故选BD.10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题中是正确命题的是( ABD )A．f(0)＝0B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x[解析]　奇函数在对称的区间上单调性相同，故C错误，其余都正确．11．德国数学家狄利克雷(1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有( ABD )A．D()＝0 B．D(x)的值域为{0,1}C．D(x)为奇函数 D．D(x－1)＝D(x)[解析]　由题得D(x)＝则D()＝0，所以A正确；容易得D(x)的值域为{0,1}，所以B正确；因为D(－x)＝所以D(－x)＝D(x)，D(x)为偶函数，所以C不正确；因为D(x－1)＝所以D(x－1)＝D(x)，所以D正确．故选ABD.12．已知函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的有( BC )A．a＋b>0，ab<0  B．a＋b<0，ab>0C．a＋b<0，ab<0  D．以上都可能[解析]　由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝；当m＝2时，f(x)＝x3.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)<0可知f(a)<－f(b)＝f(－b)，所以a<－b，即b<－a，所以a＋b<0.当a＝0时，b<0，ab＝0；当a>0时，b<0，ab<0；当a<0时，ab>0(b<0)或ab<0(0<b<－a)，故BC都有可能成立．故选BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是_(－∞，0)∪(0,1]_.[解析]　因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．14．已知f(x)＝则f＋f等于_4_.[解析]　∵f(x)＝∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.15．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(9,3)，则f＝ _，函数f的定义域为_(0,1]_.[解析]　幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，所以α＝，所以幂函数f(x)＝，故f＝，故－1≥0，解得0<x≤1.16．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：f(x)＝x－[x]，则下列说法正确的是_①②③_.①f(－0.8)＝0.2；②当1≤x<2时，f(x)＝x－1；③函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)；④函数f(x)是增函数，奇函数．[解析]　①f(－0.8)＝－0.8－[－0.8]＝－0.8＋1＝0.2，正确．②当1≤x<2时，f(x)＝x－[x]＝x－1，正确．③函数f(x)的定义域为R，f(x)＝x－[x]表示x的小数部分，所以值域为[0,1)，正确．④x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，所以f(x)不是增函数；且f(－1.5)＝f(1.5)，所以f(x)也不是奇函数．故填①②③.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.(1)求f(m＋1)的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．[解析]　(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，得a＋b＝2,2a＋b＝－1，即a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.(2)f(x)在R上是减函数．证明：任取x1<x2(x1，x2∈R)，则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)<0，即函数f(x)在R上单调递减．18．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝9x－2.(1)求f(x)；(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值．[解析]　(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)，由于f[f(x)]＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2，故解得故f(x)＝－3x＋1.(2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2，当－1<a≤5时，y的最大值是f(－1)＝6，当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1，综上，ymax＝19．(本小题满分12分)某蔬菜种植基地预销售一种绿色蔬菜，共14 t，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(t)有如下关系：P＝设该蔬菜种植基地将x(t)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润为y(万元)．(注：总利润＝销售获利－加工费)(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大？求出最大利润．[解析]　(1)由题意，知当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋，当8＜x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2，即y＝(2)由(1)知当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋，所以当x＝4时，y取得最大值，为.当8＜x≤14时，y＝x＋2，所以当x＝14时，y取得最大值，为.因为＞，所以当x＝4时，y取得最大值，为.故当精加工蔬菜4 t时，总利润最大，为万元．20．(本小题满分12分)已知函数g(x)＝，x∈(－1,1)．(1)证明：函数g(x)在(－1,1)上单调递增；(2)若g(t－1)＋g(2t)<0，求实数t的取值范围．[解析]　(1)证明：设x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝＝，∵x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0,1－x1x2>0，∴<0，即g(x1)－g(x2)<0，∴函数g(x)在(－1,1)上单调递增．(2)因为g(－x)＝＝－g(x)，则g(x)为奇函数．由g(t－1)＋g(2t)<0，得g(2t)<g(1－t)．又因为g(x)在(－1,1)上单调递增，则解得0<t<.故实数t的取值范围为0<t<.21．(本小题满分12分)如果函数y＝f(x)(x∈D)满足：①f(x)在D上是单调函数；②存在闭区间[a，b]⊆D，使f(x)在区间[a，b]上的值域也是[a，b]．那么就称函数y＝f(x)为闭函数．试判断函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是否为闭函数．如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a，b]；如果不是闭函数，请说明理由．[解析]　设x1，x2是[－1，＋∞)内的任意两个不相等的实数，且－1≤x1<x2，则有f(x2)－f(x1)＝(x＋2x2)－(x＋2x1)＝(x－x)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)(x1＋x2＋2)．∵－1≤x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋x2＋2>0.∴(x2－x1)(x1＋x2＋2)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是增函数．假设存在符合条件的区间[a，b]，则有即解得或或或又∵－1≤a<b，∴∴函数y＝x2＋2x在[－1，＋∞)内是闭函数，符合条件的区间是[－1,0]．22．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立．(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围．[解析]　(1)证明：设x1>x2，则x1－x2>0，∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)是R上的减函数．(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R，即函数y＝f(x)是奇函数．(3)解法一：由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，即f(x2－2)<f(－x)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．解法二：由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．